Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les points

A(0,1,4)

,

B(2,1,2)

,

C(2,5,0)

et

\Omega(3,4,4)

.

1.a) Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 4(2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k})$ .

1.b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d(B, (AC))$ .

2) Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$ .

2.a) Vérifier que $\vec{D\Omega} = \frac{1}{4}(\vec{AB} \wedge \vec{AC})$ .

2.b) En déduire que $d(\Omega, (ABC)) = 3$ .

3) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 8z + 32 = 0$ .

3.a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$ .

3.b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

4) Soient $(Q_1)$ et $(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt{5}$ . Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)$ et $(Q_2)$ .

Corrigé

$A(0,1,4)$ , $B(2,1,2)$ , $C(2,5,0)$ , $\Omega(3,4,4)$ .

1.a) Montrer $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k)$ .

$\vec{AB}=(2,0,-2)$ , $\vec{AC}=(2,4,-4)$ . Alors

\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\bigl(0\cdot(-4)-(-2)\cdot4,\ (-2)\cdot2-2\cdot(-4),\ 2\cdot4-0\cdot2\bigr)=(8,4,8)=4(2,1,2).

1.b) Aire de $ABC$ et $d(B,(AC))$ .

$\mathcal A=\dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|=\dfrac12\sqrt{8^2+4^2+8^2}=\dfrac12\sqrt{144}=\boxed{6}$ . [2pt] Comme $\mathcal A=\dfrac12\,AC\cdot d(B,(AC))$ et $AC=\sqrt{4+16+16}=6$ :

d(B,(AC))=\frac{2\mathcal A}{AC}=\frac{\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|}{AC}=\frac{12}{6}=\boxed2.

2) $D$ milieu de $[AC]$ .

2.a) Vérifier $\vec{D\Omega}=\frac14(\vec{AB}\wedge\vec{AC})$ .

$D=\Bigl(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{1+5}{2},\dfrac{4+0}{2}\Bigr)=(1,3,2)$ , donc $\vec{D\Omega}=(2,1,2)=\dfrac14(8,4,8)=\dfrac14(\vec{AB}\wedge\vec{AC})$ .

2.b) En déduire $d(\Omega,(ABC))=3$ .

$\vec{D\Omega}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ , donc $(D\Omega)\perp(ABC)$ ; comme $D\in(ABC)$ , le projeté de $\Omega$ est $D$ .

⇒

d(\Omega,(ABC))=D\Omega=\sqrt{4+1+4}=3

.

3) $(S):x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0$ .

3.a) Centre et rayon.

$(x-3)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=9+16+16-32=9$ .

⇒ Centre

\Omega(3,4,4)

, rayon

R=3

.

3.b) Montrer que $(ABC)$ est tangent à $(S)$ .

$d(\Omega,(ABC))=3=R$ : tangence. Le point de contact est le projeté de $\Omega$ , soit $D$ .

⇒

(ABC)

est tangent à

(S)

au point

D(1,3,2)

.

4) Plans $(Q_1),(Q_2)\parallel(ABC)$ coupant $(S)$ selon un cercle de rayon $\sqrt5$ .

Méthode

Le plan

(ABC)

a pour normal

(2,1,2)

; un plan parallèle s'écrit

2x+y+2z+d=0

. Un tel plan coupe

(S)

selon un cercle de rayon

r

tel que

d(\Omega,\text{plan})=\sqrt{R^2-r^2}

.

\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{9-5}=2

, et

d(\Omega,\text{plan})=\dfrac{|2\cdot3+4+2\cdot4+d|}{3}=\dfrac{|18+d|}{3}

. Donc

\frac{|18+d|}{3}=2\iff|18+d|=6\iff d=-12\ \text{ou}\ d=-24.

⇒

(Q_1):2x+y+2z-12=0

et

(Q_2):2x+y+2z-24=0

.

Exercice 2 (3 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{u},\vec{v})

, on considère les points

A, B, C, D

d'affixes respectives :

a = \sqrt{2} + i\sqrt{2}, \quad b = 1 + \sqrt{2} + i, \quad c = \bar{b} \quad \text{et} \quad d = 2i

1) Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

2.a) Vérifier que $b - d = c$ .

2.b) Montrer que $(\sqrt{2}+1)(b-a) = b-d$ et en déduire que les points $A$ , $B$ et $D$ sont alignés.

3.a) Vérifier que $ac = 2b$ .

3.b) En déduire que $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ .

4) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ .

4.a) Montrer que $z' = \frac{1}{2}az$ .

4.b) En déduire que $R(C) = B$ et que $R(A) = D$ .

4.c) Montrer que $\frac{b-a}{c-a} = \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a$ , puis en déduire une mesure de l'angle $(\vec{AC}, \vec{AB})$ .

Corrigé

$a=\sqrt2+i\sqrt2$ , $\;b=1+\sqrt2+i$ , $\;c=\bar b=1+\sqrt2-i$ , $\;d=2i$ .

Remarque

L'énoncé écrit

a=2+i\sqrt2

, ce qui rend l'exercice incohérent (pas de forme trigonométrique simple,

ac\ne2b

, et

\frac12a

n'a pas pour module

1

). La valeur correcte est

a=\sqrt2+i\sqrt2=2e^{i\pi/4}

, avec laquelle tout l'exercice se résout. C'est elle qui est utilisée ici.

1) Forme trigonométrique de $a$ .

$|a|=\sqrt{2+2}=2$ , et $a=2\Bigl(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)$ .

⇒

a=2\Bigl(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\Bigr)=2e^{i\pi/4}

.

2.a) Vérifier $b-d=c$ .

$b-d=(1+\sqrt2+i)-2i=1+\sqrt2-i=\bar b=c$ . $\checkmark$

2.b) Montrer $(\sqrt2+1)(b-a)=b-d$ ; en déduire l'alignement de $A,B,D$ .

$b-a=(1+\sqrt2+i)-(\sqrt2+i\sqrt2)=1+i(1-\sqrt2)$ , donc

(\sqrt2+1)(b-a)=(\sqrt2+1)+i(\sqrt2+1)(1-\sqrt2)=(\sqrt2+1)-i=b-d.

Ainsi

\vec{DB}=(\sqrt2+1)\vec{AB}

: les vecteurs

\vec{AB}

et

\vec{DB}

sont colinéaires.

⇒ Les points

A

,

B

et

D

sont alignés.

3.a) Vérifier $ac=2b$ .

ac=(\sqrt2+i\sqrt2)(1+\sqrt2-i)=(2+2\sqrt2)+2i=2(1+\sqrt2+i)=2b.\ \checkmark

3.b) En déduire $2\arg(b)\equiv\frac\pi4\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$ .

$\arg(ac)=\arg(2b)=\arg(b)$ . Or $\arg(ac)=\arg(a)+\arg(c)=\arg(a)-\arg(b)$ (car $c=\bar b$ ). Donc $\arg(a)-\arg(b)=\arg(b)$ , soit $\arg(a)=2\arg(b)$ . Comme $\arg(a)=\frac\pi4$ :

⇒

2\arg(b)\equiv\dfrac\pi4\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)

.

4) $R$ rotation de centre $O$ , angle $\frac\pi4$ .

4.a) Montrer $z'=\frac12 az$ .

Rappel

Rotation de centre

O

, angle

\theta

:

z'=e^{i\theta}z

.

\dfrac12 a=\dfrac12(\sqrt2+i\sqrt2)=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}=e^{i\pi/4}

, donc

z'=e^{i\pi/4}z=\dfrac12 az

.

4.b) En déduire $R(C)=B$ et $R(A)=D$ .

$R(C)$ : $z'=\dfrac12 a\,c=\dfrac12(ac)=\dfrac12(2b)=b$ , donc $R(C)=B$ . $R(A)$ : $z'=\dfrac12 a\,a=\dfrac12 a^2$ ; or $a^2=(\sqrt2+i\sqrt2)^2=2+4i-2=4i$ , donc $z'=2i=d$ .

⇒

R(C)=B

et

R(A)=D

.

4.c) Montrer $\dfrac{b-a}{c-a}=\Bigl(\dfrac{\sqrt2-1}{2}\Bigr)a$ , puis l'angle $(\vec{AC},\vec{AB})$ .

$b-a=1+i(1-\sqrt2)$ et $c-a=1-i(1+\sqrt2)$ . En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur :

\frac{b-a}{c-a}=\frac{[1+i(1-\sqrt2)][1+i(1+\sqrt2)]}{1+(1+\sqrt2)^2}=\frac{2+2i}{4+2\sqrt2}=\frac{1+i}{2+\sqrt2}=\Bigl(\frac{\sqrt2-1}{2}\Bigr)a.

Comme

\dfrac{\sqrt2-1}{2}>0

,

\arg\dfrac{b-a}{c-a}=\arg(a)=\dfrac\pi4

.

⇒

(\vec{AC},\vec{AB})\equiv\dfrac\pi4\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)

.

Remarque

L'énoncé propose le coefficient

\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}

; le calcul exact donne

\frac{\sqrt2-1}{2}

. Dans les deux cas c'est un réel positif, donc l'angle vaut bien

\arg(a)=\frac\pi4

.

Exercice 3 (3 points)

Une urne

U_1

contient six boules portant les nombres :

0, 0, 1, 1, 1, 2

et une urne

U_2

contient cinq boules portant les nombres :

1, 1, 1, 2, 2

. On tire au hasard une boule de l'urne

U_1

et on note le nombre

a

qu'elle porte, puis on la met dans l'urne

U_2

. Ensuite, on tire une boule de l'urne

U_2

et on note le nombre

b

qu'elle porte. On considère les événements suivants : [label=•]

$A$ : « la boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre 1 ».
$B$ : « le produit $ab$ est égal à 2 ».

1.a) Calculer $p(A)$ .

1.b) Montrer que $p(B) = \frac{1}{4}$ .

2) Calculer $p(A|B)$ , la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.

3) Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience le produit $ab$ .

3.a) Montrer que $p(X=0) = \frac{1}{3}$ .

3.b) Dresser la loi de probabilité de $X$ (les valeurs prises par $X$ sont $0, 1, 2, 4$ ).

3.c) On considère les événements : [label=•]

$M$ : « le produit $ab$ est pair non nul ».
$N$ : « le produit $ab$ est égal à 1 ». Montrer que les événements $M$ et $N$ sont équiprobables.

Corrigé

$U_1:\{0,0,1,1,1,2\}$ ; $U_2:\{1,1,1,2,2\}$ . On tire $a$ dans $U_1$ , on le place dans $U_2$ (qui compte alors $6$ boules), puis on tire $b$ dans $U_2$ .

1.a) Calculer $p(A)$ ( $A$ : la boule de $U_1$ porte $1$ ).

$U_1$ contient trois $1$ : $\;p(A)=\dfrac36=\boxed{\dfrac12}$ .

1.b) Montrer $p(B)=\frac14$ ( $B$ : $ab=2$ ).

$ab=2$ se réalise par $(a{=}1,b{=}2)$ ou $(a{=}2,b{=}1)$ . Avec la loi des probabilités totales :

p(B)=\underbrace{p(a{=}1)}_{3/6}\underbrace{p(b{=}2\mid a{=}1)}_{2/6}+\underbrace{p(a{=}2)}_{1/6}\underbrace{p(b{=}1\mid a{=}2)}_{3/6}=\frac16+\frac1{12}=\boxed{\frac14}.

(

a{=}1\Rightarrow U_2=\{1,1,1,1,2,2\}

;

\ a{=}2\Rightarrow U_2=\{1,1,1,2,2,2\}

.)

2) Calculer $p(A\mid B)$ .

$A\cap B$ : $a{=}1$ et $ab{=}2$ , c'est-à-dire $(a{=}1,b{=}2)$ : $p(A\cap B)=\dfrac36\cdot\dfrac26=\dfrac16$ . Donc

p(A\mid B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{1/6}{1/4}=\boxed{\frac23}.

3) $X=ab$ , à valeurs dans $\{0,1,2,4\}$ .

3.a) Montrer $p(X=0)=\frac13$ .

$X=0\iff a=0$ (sinon $b\ge1$ et $ab\ge1$ ). $\;p(X=0)=p(a{=}0)=\dfrac26=\boxed{\dfrac13}$ .

3.b) Loi de probabilité de $X$ .

$p(X{=}1)=p(a{=}1,b{=}1)=\dfrac36\cdot\dfrac46=\dfrac13$ ; $\ p(X{=}2)=p(B)=\dfrac14$ ; $\ p(X{=}4)=p(a{=}2,b{=}2)=\dfrac16\cdot\dfrac36=\dfrac1{12}$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 4\\\hline p(X=k) & \dfrac13 & \dfrac13 & \dfrac14 & \dfrac1{12}\\\hline \end{array} \qquad\Bigl(\text{somme}=\tfrac{4}{12}+\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}+\tfrac{1}{12}=1\Bigr)

3.c) Montrer que $M$ (« $ab$ pair non nul ») et $N$ (« $ab=1$ ») sont équiprobables.

$p(M)=p(X{=}2)+p(X{=}4)=\dfrac14+\dfrac1{12}=\dfrac13$ et $p(N)=p(X{=}1)=\dfrac13$ .

⇒

p(M)=p(N)=\dfrac13

:

M

et

N

sont équiprobables.

Problème (11 points)

On considère la fonction numérique

f

définie sur

]0, +\infty[

par :

f(x) = 2 - \frac{2}{x} + (1-\ln x)^2

Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 1cm).

1.a) Vérifier que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f(x) = \frac{3x - 2 - 2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$ .

1.b) Montrer que $\lim\limits_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0$ et que $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ (on pourra poser $t = \sqrt{x}$ ).

1.c) En déduire que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ , puis donner une interprétation géométrique.

1.d) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ , puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .

2) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f'(x) = \frac{2(1 - x + x\ln x)}{x^2}$ .

3) En exploitant le tableau de variations ci-dessous de la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]0, +\infty[$ (où $f'(\beta) \approx 4.9$ et $\beta \approx 4.9$ ) : \begin{center} [Figure — voir le PDF] \end{center}

3.a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .

3.b) Donner le tableau de signes de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sur $]0, +\infty[$ .

3.c) En déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe $(C_g)$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $g(x) = f(x) - x$ qui s'annule en $\alpha \approx 0.3$ et $1$ . Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = x$ .

4.a) À partir de la courbe $(C_g)$ , déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0, +\infty[$ .

4.b) En déduire que la droite $(\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha, 1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur $]0, \alpha]$ et $[1, +\infty[$ .

[Figure — voir le PDF]

5) Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $\alpha \approx 0.3$ , $\beta \approx 4.9$ et $f(\beta) \approx 1.9$ ).

6.a) Vérifier que la fonction $x \mapsto 2x - x\ln x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto 1 - \ln x$ sur $[\alpha, 1]$ .

6.b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_\alpha^1 (1-\ln x)^2 \, \mathrm{d}x = 5(1-\alpha) + \alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ .

6.c) En déduire en fonction de $\alpha$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses, et les droites $x = \alpha$ et $x = 1$ .

7) Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 \in ]\alpha, 1[$ et la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ .

7.a) Montrer par récurrence que $\alpha < u_n < 1$ pour tout $n \in \N$ .

7.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on pourra utiliser la question 4-b).

7.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Corrigé

$f(x)=2-\dfrac2x+(1-\ln x)^2$ sur $]0,+\infty[$ (unité $1$ cm).

1.a) Vérifier $f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}$ .

$(1-\ln x)^2=1-2\ln x+(\ln x)^2$ , donc $f(x)=3-\dfrac2x-2\ln x+(\ln x)^2$ . En réduisant au dénominateur $x$ :

f(x)=\frac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}.

1.b) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x(\ln x)^2=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ .

On pose $t=\sqrt x$ ( $t\to0^+$ ). Alors $x\ln x=t^2\cdot2\ln t=2t\,(t\ln t)\to0$ , et $x(\ln x)^2=t^2(2\ln t)^2=4(t\ln t)^2\to0$ (car $t\ln t\to0$ ).

1.c) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et interpréter.

Avec la forme de 1.a, le numérateur tend vers $3\cdot0-2-2\cdot0+0=-2$ et le dénominateur vers $0^+$ :

\boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty.}

⇒ La droite

x=0

(axe des ordonnées) est asymptote verticale à

(C_f)

.

1.d) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et branche infinie.

$(1-\ln x)^2\to+\infty$ et $-\frac2x\to0$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . De plus

\frac{f(x)}{x}=\frac2x-\frac2{x^2}+\frac{(1-\ln x)^2}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.

⇒

(C_f)

admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses en

+\infty

.

2) Montrer $f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$ .

\begin{aligned} f'(x)&=-2\Bigl(-\frac1{x^2}\Bigr)+2(1-\ln x)\Bigl(-\frac1x\Bigr)=\frac2{x^2}-\frac{2(1-\ln x)}{x}\\ &=\frac{2-2x(1-\ln x)}{x^2}=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}. \end{aligned}

3) D'après le tableau de variations fourni de $f'$ (avec $f'(1)=0$ , $f'(\beta)\approx4{,}9$ , $\beta\approx4{,}9$ ) :

3.a) Prouver que $f$ est strictement croissante, puis dresser son tableau de variations.

Le tableau de $f'$ montre que $f'$ passe par un minimum nul en $x=1$ et tend vers $0$ en $+\infty$ en restant positive : ainsi $f'(x)\ge0$ sur $]0,+\infty[$ (nulle seulement en $x=1$ ). De plus $f(1)=2-2+1=1$ .

\begin{center}

\end{center} (

f

est strictement croissante ; tangente horizontale au point

(1\,;1)

car

f'(1)=0

.)

3.b) Tableau de signes de $f''$ .

$f''=(f')'$ : d'après le tableau de $f'$ , $f'$ décroît sur $]0,1[$ , croît sur $]1,\beta[$ , décroît sur $]\beta,+\infty[$ . Donc :

\begin{center}

\end{center}

3.c) Concavité et points d'inflexion.

Le signe de $f''$ donne :

⇒

(C_f)

est concave sur

]0,1[

et

]\beta,+\infty[

, convexe sur

]1,\beta[

; deux points d'inflexion d'abscisses

1

et

\beta

.

4) $(C_g)$ fournie : $g(x)=f(x)-x$ , s'annulant en $\alpha\approx0{,}3$ et en $1$ ; $(\Delta):y=x$ .

4.a) Signe de $g$ (lecture de $(C_g)$ ).

⇒

g(x)<0

sur

]0,\alpha[

,

\ g(x)>0

sur

]\alpha,1[

,

\ g(x)<0

sur

]1,+\infty[

.

4.b) Position de $(\Delta)$ par rapport à $(C_f)$ .

$g(x)=f(x)-x$ , donc le signe de $g$ donne la position :

⇒

(\Delta)

est en dessous de

(C_f)

sur

[\alpha,1]

(où

g>0

), et au-dessus sur

]0,\alpha]

et

[1,+\infty[

(où

g<0

).

5) Construire $(C_f)$ et $(\Delta)$ ( $\alpha\approx0{,}3$ , $\beta\approx4{,}9$ , $f(\beta)\approx1{,}9$ ).

\begin{center}

\end{center}

6.a) Vérifier que $x\mapsto2x-x\ln x$ est une primitive de $x\mapsto1-\ln x$ .

(2x-x\ln x)'=2-\bigl(\ln x+1\bigr)=1-\ln x.\ \checkmark

6.b) Montrer $\displaystyle\int_\alpha^1(1-\ln x)^2\dx=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ .

Méthode

IPP avec

u=(1-\ln x)^2

,

v'=1

:

u'=-\dfrac{2(1-\ln x)}{x}

,

v=x

. Apparaît alors

\int(1-\ln x)\dx

, dont une primitive est

2x-x\ln x

(question a).

\int_\alpha^1(1-\ln x)^2\dx=\Bigl[x(1-\ln x)^2\Bigr]_\alpha^1+2\int_\alpha^1(1-\ln x)\dx=\Bigl[x(1-\ln x)^2+2(2x-x\ln x)\Bigr]_\alpha^1.

En

x=1

:

1+2\cdot2=5

. En

x=\alpha

:

\alpha(1-\ln\alpha)^2+4\alpha-2\alpha\ln\alpha=5\alpha-4\alpha\ln\alpha+\alpha(\ln\alpha)^2

. D'où

\int_\alpha^1(1-\ln x)^2\dx=5-\bigl(5\alpha-4\alpha\ln\alpha+\alpha(\ln\alpha)^2\bigr)=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha.

Remarque

L'énoncé contient une rature («

\dots-1

? Non,

\dots

») : le résultat correct est bien

5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha

, sans le

-1

.

6.c) En déduire l'aire $\mathcal S$ entre $(C_f)$ , l'axe $(Ox)$ , $x=\alpha$ et $x=1$ .

Sur $[\alpha,1]$ , $f$ est croissante et $f(\alpha)=\alpha>0$ , donc $f\ge0$ : $\mathcal S=\displaystyle\int_\alpha^1 f(x)\dx$ .

\mathcal S=\int_\alpha^1\!\Bigl(2-\frac2x\Bigr)\dx+\int_\alpha^1(1-\ln x)^2\dx=\bigl[2x-2\ln x\bigr]_\alpha^1+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha.

Comme

\bigl[2x-2\ln x\bigr]_\alpha^1=2-2\alpha+2\ln\alpha

:

⇒

\mathcal S=7(1-\alpha)+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha\ \ (\text{cm}^2)

.

7) $(u_n)$ : $u_0\in\,]\alpha,1[$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

7.a) Montrer par récurrence que $\alpha<u_n<1$ .

Initialisation. $u_0\in\,]\alpha,1[$ : vrai. [2pt] Hérédité. Si $\alpha<u_n<1$ , alors par croissance de $f$ : $f(\alpha)<f(u_n)<f(1)$ . Or $f(\alpha)=\alpha$ (car $g(\alpha)=0$ ) et $f(1)=1$ , donc $\alpha<u_{n+1}<1$ .

⇒ Pour tout

n\in\N

,

\alpha<u_n<1

.

7.b) Montrer que $(u_n)$ est croissante.

$u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)$ . Comme $u_n\in\,]\alpha,1[$ et que $g>0$ sur cet intervalle (4.a) :

⇒

u_{n+1}-u_n>0

: la suite

(u_n)

est croissante.

7.c) En déduire la convergence et la limite.

$(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ , donc converge vers $\ell\in\,]\alpha,1]$ . Par continuité, $\ell=f(\ell)$ , donc $g(\ell)=0$ , soit $\ell\in\{\alpha,1\}$ . Comme $u_n>\alpha$ , $\ell>\alpha$ .

⇒

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1

.