Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (2 points)

Soit

(u_n)

la suite numérique définie par

u_0 = 1

et

u_{n+1} = \frac{3u_n - 8}{2u_n - 5}

pour tout

n \in \N

.

1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ , $u_n < 2$ .

2) On pose pour tout $n \in \N$ , $v_n = \frac{u_n-3}{u_n-2}$ .

2.a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison 2.

2.b) Écrire $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \N$ .

2.c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$ .

Corrigé

$A(0,1,1)$ , $B(1,2,0)$ , $C(-1,1,2)$ .

1.a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec i+\vec k$ .

$\vec{AB}=(1,1,-1)$ et $\vec{AC}=(-1,0,1)$ .

Rappel

\vec u\wedge\vec v=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1\bigr)

.

\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\bigl(1\cdot1-(-1)\cdot0,\ (-1)(-1)-1\cdot1,\ 1\cdot0-1\cdot(-1)\bigr)=(1,0,1)=\vec i+\vec k.

1.b) En déduire que $x+z-1=0$ est une équation de $(ABC)$ .

$\vec n=\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(1,0,1)$ est normal à $(ABC)$ , d'où une équation $x+z+d=0$ . Comme $A(0,1,1)\in(ABC)$ : $0+1+d=0$ , soit $d=-1$ .

⇒

(ABC):\ x+z-1=0

.

2) Équation de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1,1,2)$ , rayon $R=\sqrt2$ .

\boxed{(S):\ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=2.}

3) Montrer que $(ABC)$ est tangent à $(S)$ en $A$ .

Méthode

Un plan est tangent à une sphère lorsque la distance du centre au plan égale le rayon ; le point de contact est le projeté du centre.

d\bigl(\Omega,(ABC)\bigr)=\frac{|1+2-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2=R.

Le plan est donc tangent. De plus

A\in(ABC)

et

A\in(S)

(car

(0-1)^2+0+(1-2)^2=2

), et

\vec{\Omega A}=(-1,0,-1)=-\vec n

est normal au plan.

⇒

(ABC)

est tangent à

(S)

au point

A

.

4) $(\Delta)$ passe par $C$ et est perpendiculaire à $(ABC)$ .

4.a) Représentation paramétrique de $(\Delta)$ .

$(\Delta)\perp(ABC)$ donc $(\Delta)$ est dirigée par $\vec n=(1,0,1)$ et passe par $C(-1,1,2)$ :

⇒

(\Delta):\ \begin{cases}x=-1+t\\ y=1\\ z=2+t\end{cases}\quad(t\in\R)

.

4.b) Montrer que $(\Delta)$ est tangente à $(S)$ en $D$ ; déterminer $D$ .

Le point de contact $D\in(\Delta)$ vérifie $\vec{\Omega D}\perp\vec n$ . Pour $M(-1+t,1,2+t)$ :

\vec{\Omega M}=(t-2,\,0,\,t),\quad \vec{\Omega M}\cdot\vec n=(t-2)+t=2t-2=0\ \Longrightarrow\ t=1.

D'où

D(0,1,3)

, et

\vec{\Omega D}=(-1,0,1)

vérifie

\|\vec{\Omega D}\|=\sqrt2=R

:

D\in(S)

.

⇒

(\Delta)

est tangente à

(S)

au point

D(0,1,3)

.

4.c) Calculer $\vec{AC}\cdot(\vec i+\vec k)$ , puis $d\bigl(A,(\Delta)\bigr)$ .

$\vec{AC}=(-1,0,1)$ , donc $\vec{AC}\cdot(\vec i+\vec k)=(-1)(1)+0+1\cdot1=0$ . Ainsi $\vec{AC}\perp\vec n$ : comme $C\in(\Delta)$ et $\vec{CA}\perp(\Delta)$ , le projeté orthogonal de $A$ sur $(\Delta)$ est $C$ lui-même.

⇒

d\bigl(A,(\Delta)\bigr)=AC=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2

.

Exercice 2 (5 points)

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$ .

2) On considère le nombre complexe $a = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

2.a) Écrire $a$ sous forme trigonométrique et en déduire que $a^{2020}$ est un nombre réel.

2.b) Soit le nombre complexe $b = \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}$ . Prouver que $b^2 = a$ .

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c = 1$ . La rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{8}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ .

3.a) Vérifier que $z' = bz$ .

3.b) Déterminer l'image de $C$ par $R$ , et montrer que $A$ est l'image de $B$ par $R$ .

4.a) Montrer que $|a-b| = |b-c|$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ .

4.b) Déterminer une mesure de l'angle $(\vec{BA}, \vec{BC})$ .

5) Soit $T$ la translation de vecteur $\vec{u}$ (d'affixe 1) et $D$ l'image de $A$ par $T$ .

5.a) Vérifier que l'affixe $d$ de $D$ est $d = b^2+1$ .

5.b) Montrer que $\frac{b^2+1}{b} = b + \bar{b}$ , puis en déduire que les points $O$ , $B$ et $D$ sont alignés.

Corrigé

$a=-1-i\sqrt3$ , $\;b=-1+i\sqrt3$ , $\;t$ translation de vecteur $\vec{OA}$ .

1) Affixe de $D=t(B)$ .

$t$ a pour vecteur d'affixe $a$ , donc $d=b+a=(-1+i\sqrt3)+(-1-i\sqrt3)=\boxed{-2}$ .

2) $R$ rotation de centre $D$ , angle $\frac{2\pi}{3}$ ; montrer $c=-4$ ( $C=R(B)$ ).

Rappel

c-d=e^{i\,2\pi/3}(b-d)

, avec

e^{i\,2\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}

.

b-d=(-1+i\sqrt3)-(-2)=1+i\sqrt3

, donc

c-d=\Bigl(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)(1+i\sqrt3)=\underbrace{-\tfrac12-\tfrac32}_{\text{partie réelle}}+\underbrace{\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)}_{=0}i=-2.

D'où

c=d-2=-2-2=\boxed{-4}

.

3.a) Forme trigonométrique de $\dfrac{b-c}{a-c}$ .

$b-c=3+i\sqrt3$ et $a-c=3-i\sqrt3$ . Leurs modules valent $\sqrt{9+3}=2\sqrt3$ , et $\arg(3+i\sqrt3)=\dfrac\pi6$ , $\arg(3-i\sqrt3)=-\dfrac\pi6$ . Donc

\frac{b-c}{a-c}=\frac{2\sqrt3\,e^{i\pi/6}}{2\sqrt3\,e^{-i\pi/6}}=e^{i\pi/3}=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3.

3.b) En déduire que $\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right)^2=\dfrac{c-d}{b-d}$ .

D'une part $\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right)^2=\bigl(e^{i\pi/3}\bigr)^2=e^{i\,2\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ . D'autre part $c-d=-2$ et $b-d=1+i\sqrt3$ , donc

\frac{c-d}{b-d}=\frac{-2}{1+i\sqrt3}=\frac{-2(1-i\sqrt3)}{1+3}=\frac{-1+i\sqrt3}{2}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.

⇒

\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right)^2=\dfrac{c-d}{b-d}

.

4) $(\Gamma)$ : centre $D$ , rayon $2$ ; $(\Gamma')$ : centre $O$ , rayon $4$ ; $M(z)\in(\Gamma)\cap(\Gamma')$ .

4.a) Vérifier $|z+2|=2$ .

$M\in(\Gamma)\iff|z-d|=2\iff|z-(-2)|=|z+2|=2$ .

4.b) Prouver $z+\bar z=-8$ (avec $z\bar z=16$ ).

$M\in(\Gamma')\iff|z|=4\iff z\bar z=16$ . En développant $|z+2|^2=4$ :

(z+2)(\bar z+2)=4\ \Longrightarrow\ z\bar z+2(z+\bar z)+4=4\ \Longrightarrow\ 16+2(z+\bar z)+4=4.

⇒

z+\bar z=-8

.

4.c) En déduire le point d'intersection.

$z+\bar z=-8\Rightarrow\mathrm{Re}(z)=-4$ ; et $|z|=4\Rightarrow\mathrm{Re}(z)^2+\mathrm{Im}(z)^2=16\Rightarrow16+\mathrm{Im}(z)^2=16\Rightarrow\mathrm{Im}(z)=0$ .

⇒

(\Gamma)

et

(\Gamma')

sont tangents : unique point

M

d'affixe

z=-4

.

Exercice 3 (4 points)

1) On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = e^x - 2x + 2 - 3e^{-x}$ .

1.a) Montrer que pour tout $x \in \R$ , $u'(x) = \frac{(e^x-1)^2+2}{e^x}$ .

1.b) Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ (sans calcul de limites).

1.c) En déduire le signe de la fonction $u$ sur $\R$ (remarquer que $u(0) = 0$ ).

2) Soit la fonction $v$ définie sur $\R$ par : $v(x) = e^{2x} - 2xe^x + 2e^x - 3$ .

2.a) Vérifier que pour tout $x \in \R$ , $v(x) = e^x u(x)$ .

2.b) En déduire le signe de la fonction $v$ sur $\R$ .

3.a) Montrer que la fonction $W$ définie par $W(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + (4-2x)e^x - 3x$ est une primitive de la fonction $v$ sur $\R$ .

3.b) Calculer l'intégrale $\int_0^2 v(x)\,\mathrm{d}x$ .

3.c) Montrer que $\frac{9}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $W$ sur $\R$ .

Corrigé

Urne : $3$ blanches, $3$ vertes, $4$ rouges ( $10$ boules). Tirage simultané de $3$ boules : $\displaystyle\binom{10}{3}=120$ tirages équiprobables.

1) $p(A)$ , $A$ : « aucune rouge ».

On choisit $3$ boules parmi les $6$ non rouges : $\binom63=20$ .

p(A)=\frac{20}{120}=\boxed{\frac16}.

2) $p(B)$ , $B$ : « $3$ blanches ou $3$ vertes ».

$\binom33+\binom33=1+1=2$ , d'où $\;p(B)=\dfrac{2}{120}=\boxed{\dfrac1{60}}$ .

3) $p(C)$ , $C$ : « exactement une rouge ».

Une rouge parmi $4$ et deux non rouges parmi $6$ : $\binom41\binom62=4\times15=60$ .

p(C)=\frac{60}{120}=\boxed{\frac12}.

4) $p(D)$ , $D$ : « au moins deux rouges ».

Méthode

« Au moins

2

rouges » est le complémentaire de «

0

ou

1

rouge » :

p(D)=1-p(A)-p(C)

.

p(D)=1-\frac16-\frac12=1-\frac16-\frac36=1-\frac46=\boxed{\frac13}.

Exercice 4 — Intégrales et équation différentielle (2{,}5 points)

$h(x)=(x+1)e^x$ sur $\R$ .

1.a) Vérifier que $x\mapsto xe^x$ est une primitive de $h$ , puis calculer $I=\displaystyle\int_{-1}^0 h$ .

$(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x=h(x)$ , donc $x\mapsto xe^x$ est une primitive de $h$ . Alors

I=\int_{-1}^0(x+1)e^x\dx=\bigl[xe^x\bigr]_{-1}^0=0-(-1)e^{-1}=\boxed{\frac1e}.

1.b) Calculer $J=\displaystyle\int_{-1}^0(x+1)^2 e^x\dx$ par parties.

On pose $u=(x+1)^2$ , $v'=e^x$ , d'où $u'=2(x+1)$ , $v=e^x$ :

J=\bigl[(x+1)^2 e^x\bigr]_{-1}^0-\int_{-1}^0 2(x+1)e^x\dx=\bigl(1-0\bigr)-2I=1-\frac2e.

⇒

J=1-\dfrac2e

.

2.a) Résoudre $(E):y''-2y'+y=0$ .

Rappel

Équation caractéristique

r^2-2r+1=0

. Racine double

r_0\Rightarrow y=(Ax+B)e^{r_0x}

.

r^2-2r+1=(r-1)^2=0

, racine double

r_0=1

:

⇒

y=(Ax+B)e^{x}

,

\;(A,B)\in\R^2

.

2.b) Montrer que $h$ est la solution de $(E)$ vérifiant $h(0)=1$ , $h'(0)=2$ .

$h(x)=(x+1)e^x$ est bien de la forme $(Ax+B)e^x$ (avec $A=B=1$ ), donc $h$ est solution de $(E)$ . De plus $h(0)=1$ , et $h'(x)=(x+2)e^x$ donne $h'(0)=2$ .

⇒

h

est l'unique solution de

(E)

vérifiant

h(0)=1

et

h'(0)=2

.

Problème (9 points)

Partie I Soit

g

la fonction numérique définie sur

]0, +\infty[

par :

g(x) = e^{1-x} + \frac{1}{x} - 2

1) Montrer que $g'(x) < 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$ .

2) En déduire le tableau de signes de $g(x)$ sur $]0, +\infty[$ (remarquer que $g(1) = 0$ ).

Partie II On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par :

f(x) = (1-x)e^{1-x} - x^2 + 5x - 3 - 2\ln x

Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 2cm).

1) Montrer que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ , puis interpréter le résultat géométriquement.

2.a) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ .

2.b) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ , puis interpréter le résultat géométriquement.

3.a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $f'(x) = (x-2)g(x)$ .

3.b) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0, 1]$ et sur $[2, +\infty[$ , et strictement croissante sur $[1, 2]$ .

3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0, +\infty[$ (on admettra $f(2) \approx 1.25$ ).

4) Sachant que $f(3) \approx 0.5$ et $f(4) \approx -1.9$ , montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]3, 4[$ .

5) Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Partie III On pose $h(x) = f(x) - x$ pour tout $x \in [1, 2]$ .

1.a) À partir du tableau de variations de la fonction $h$ ci-dessous, montrer que $f(x) \le x$ pour tout $x \in [1, 2]$ . \begin{center}

$x$	1		2
	0
$h(x)$		$\searrow$
			$h(2)$

\end{center}

1.b) Montrer que 1 est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[1, 2]$ .

2) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ .

2.a) Montrer par récurrence que $1 \le u_n \le 2$ pour tout $n \in \N$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

2.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Corrigé

$f(x)=x\bigl(e^{x/2}-1\bigr)^2$ sur $\R$ (unité $1$ cm).

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .

$\bullet$ En $+\infty$ : $e^{x/2}-1\to+\infty$ et $x\to+\infty$ , donc $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$ . $\bullet$ En $-\infty$ : $e^{x/2}\to0$ , donc $(e^{x/2}-1)^2\to1$ et $f(x)\sim x\to-\infty$ : $\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$ .

2) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ et interpréter.

$\dfrac{f(x)}{x}=(e^{x/2}-1)^2\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$ .

⇒

(C_f)

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

+\infty

.

3.a) Montrer que $(\Delta):y=x$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$ .

Méthode

On factorise

f(x)-x

:

(e^{x/2}-1)^2-1=e^x-2e^{x/2}=e^{x/2}(e^{x/2}-2)

.

f(x)-x=x\bigl[(e^{x/2}-1)^2-1\bigr]=x\,e^{x/2}\bigl(e^{x/2}-2\bigr).

En

-\infty

:

x\,e^{x/2}\to0

(l'exponentielle l'emporte) et

e^{x/2}-2\to-2

, donc

f(x)-x\to0

.

⇒ La droite

(\Delta):y=x

est asymptote à

(C_f)

en

-\infty

.

3.b) Signe de $f(x)-x$ et position relative.

$f(x)-x=x\,e^{x/2}(e^{x/2}-2)$ ; comme $e^{x/2}>0$ , le signe est celui de $x(e^{x/2}-2)$ . Or $e^{x/2}-2=0\iff x=\ln4$ , et :

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & 0 & & \ln4 & +\infty\\\hline x & & - & 0\ + & + &\\ e^{x/2}-2 & & - & - & 0\ + &\\\hline f(x)-x & & + & 0\ - & 0\ + & \end{array}

⇒

(C_f)

est au-dessus de

(\Delta)

sur

]-\infty,0[\cup\,]\ln4,+\infty[

, en-dessous sur

]0,\ln4[

, et les deux se coupent en

(0,0)

et

(\ln4,\ln4)

.

4.a) Montrer $f'(x)=(e^{x/2}-1)\bigl(e^{x/2}-1+xe^{x/2}\bigr)$ .

f'(x)=(e^{x/2}-1)^2+x\cdot2(e^{x/2}-1)\cdot\tfrac12 e^{x/2}=(e^{x/2}-1)\bigl[(e^{x/2}-1)+xe^{x/2}\bigr].

4.b) Vérifier $x(e^{x/2}-1)\ge0$ , en déduire le signe de $f'$ .

Si $x>0$ : $e^{x/2}>1$ donc $e^{x/2}-1>0$ et $x(e^{x/2}-1)>0$ . Si $x<0$ : $e^{x/2}<1$ donc $e^{x/2}-1<0$ et $x(e^{x/2}-1)>0$ . Donc $x(e^{x/2}-1)\ge0$ pour tout $x$ . Or

f'(x)=(e^{x/2}-1)^2+e^{x/2}\cdot\underbrace{x(e^{x/2}-1)}_{\ge0}\ \ge0,

nul uniquement en

x=0

.

⇒

f

est strictement croissante sur

\R

.

4.c) Tableau de variations de $f$ .

$\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty$ , $f(0)=0$ (tangente horizontale car $f'(0)=0$ ).

\begin{center}

\end{center}

5.a) Montrer $f''(x)=\frac12 e^{x/2}g(x)$ , où $g(x)=(2x+4)e^{x/2}-x-4$ .

En développant, $f'(x)=(1+x)e^x-(2+x)e^{x/2}+1$ . Alors

f''(x)=(2+x)e^x-\frac{4+x}{2}e^{x/2}=\frac12 e^{x/2}\Bigl[2(2+x)e^{x/2}-(x+4)\Bigr]=\frac12 e^{x/2}\,g(x).

5.b) Signe de $g$ (lecture de $(C_g)$ , avec $g(\alpha)=0$ ).

On vérifie $g(0)=4\cdot1-0-4=0$ : $0$ est racine de $g$ . Avec la racine $\alpha\approx-4{,}5$ donnée, la courbe $(C_g)$ fournit :

⇒

g(x)>0

sur

]-\infty,\alpha[

,

\ g(x)<0

sur

]\alpha,0[

,

\ g(x)>0

sur

]0,+\infty[

.

5.c) Concavité de $(C_f)$ et abscisses des points d'inflexion.

Comme $\frac12 e^{x/2}>0$ , $f''$ a le signe de $g$ :

\begin{center}

\end{center}

(C_f)

est convexe sur

]-\infty,\alpha[

et

]0,+\infty[

, concave sur

]\alpha,0[

. La concavité change en

\alpha

et en

0

:

⇒

(C_f)

admet deux points d'inflexion, d'abscisses

\alpha

et

0

.

6) Construire $(C_f)$ (on prend $\alpha\approx-4{,}5$ , $f(\alpha)\approx-3{,}5$ ).

Repères : asymptote $(\Delta):y=x$ en $-\infty$ ; inflexions en $\bigl(\alpha\,;\approx-3{,}5\bigr)$ et $(0\,;0)$ (tangente horizontale) ; intersections avec $(\Delta)$ en $(0\,;0)$ et $(\ln4\,;\ln4)$ .

\begin{center}

\end{center}

7.a) Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ définie sur $\R$ .

$f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , donc réalise une bijection de $\R$ sur $f(\R)=\bigl]\lim_{-\infty}f,\lim_{+\infty}f\bigr[=\R$ .

⇒

f

admet une réciproque

f^{-1}

définie sur

\R

.

7.b) Calculer $(f^{-1})'(\ln4)$ .

Rappel

(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}

.

Comme

f(\ln4)=\ln4\cdot(e^{\ln2}-1)^2=\ln4\cdot(2-1)^2=\ln4

, on a

f^{-1}(\ln4)=\ln4

. Et

f'(\ln4)=(2-1)\bigl(2-1+\ln4\cdot2\bigr)=1+2\ln4.

⇒

(f^{-1})'(\ln4)=\dfrac{1}{1+2\ln4}

.

8) $(u_n)$ : $u_0=1$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

8.a) Montrer par récurrence que $0<u_n<\ln4$ .

Initialisation. $u_0=1$ et $0<1<\ln4\ (\approx1{,}39)$ : vrai. [2pt] Hérédité. Si $0<u_n<\ln4$ , alors par croissance de $f$ : $f(0)<f(u_n)<f(\ln4)$ , soit $0<u_{n+1}<\ln4$ (car $f(0)=0$ et $f(\ln4)=\ln4$ ).

⇒ Pour tout

n\in\N

,

0<u_n<\ln4

.

8.b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

Pour $u_n\in\,]0,\ln4[$ , la question 3.b donne $f(u_n)-u_n<0$ , donc

u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n<0.

⇒ La suite

(u_n)

est strictement décroissante.

8.c) En déduire la convergence et la limite.

$(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ , donc converge vers $\ell\in[0,\ln4]$ . Par continuité, $\ell=f(\ell)$ . Or $f(x)=x\iff x\in\{0,\ln4\}$ ; comme $u_n<u_0=1<\ln4$ pour $n\ge1$ , on a $\ell<\ln4$ .

⇒

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0

.