Bac Maths — Session de rattrapage 2020

$(u_n)$ : $\;u_0=1\;$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{2u_n-5}$.

1) Montrer par récurrence que $u_n<2$ pour tout $n$.

Initialisation. $u_0=1<2$ : vrai au rang $0$. [2pt] Hérédité. Supposons $u_n<2$. Alors Or $u_n<2$ donne $u_n-2<0$, et $2u_n<4$ donne $2u_n-5<-1<0$. Le quotient de deux négatifs est positif : $2-u_{n+1}>0$, donc $u_{n+1}<2$.

2) On pose $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n-2}$.

2.a) Montrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $2$.

En divisant (le facteur $2u_n-5$ se simplifie) : Donc

2.b) Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

Premier terme : $v_0=\dfrac{1-3}{1-2}=\dfrac{-2}{-1}=2$, donc $\;v_n=v_0+2n=2n+2.$ [2pt] On exprime $u_n$ à partir de $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n-2}$ :

Avec $v_n=2n+2$ :

2.c) Limite de $(u_n)$.

(quotient des termes de plus haut degré).

1) Résoudre $z^2-2z+2=0$ dans $\C$.

$\Delta=(-2)^2-4(2)=-4=(2i)^2<0$, donc $z=\dfrac{2\pm2i}{2}=1\pm i$.

2) $a=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}$.

2.a) Forme trigonométrique de $a$ ; montrer que $a^{2020}\in\R$.

($505$ est impair, donc $\cos(505\pi)=-1$ et $\sin(505\pi)=0$.)

2.b) $b=\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}$. Prouver que $b^2=a$.

$b=e^{i\pi/8}$, donc $b^2=e^{i\pi/4}=a$.

3) $A$, $B$, $C$ d'affixes $a$, $b$, $c=1$ ; $R$ rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{8}$.

3.a) Vérifier $z'=bz$.

Ici $z'=e^{i\pi/8}z=bz$ (car $b=e^{i\pi/8}$).

3.b) Image de $C$ par $R$, et montrer que $A$ est l'image de $B$.

Image de $C$ : $z'_C=b\cdot c=b\cdot1=b$ : c'est le point $B$. Image de $B$ : $z'_B=b\cdot b=b^2=a$ : c'est le point $A$.

4.a) Montrer $|a-b|=|b-c|$ et en déduire la nature de $ABC$.

Comme $a=b^2$ et $c=1$ : Donc $BA=BC$.

4.b) Mesure de l'angle $(\vec{BA},\vec{BC})$.

5) $T$ translation de vecteur $\vec u$ (affixe $1$), $D=T(A)$.

5.a) Vérifier l'affixe $d$ de $D$.

$D$ est l'image de $A$ (d'affixe $a$) par $T$, donc $d=a+1$. Comme $a=b^2$ :

5.b) Montrer $\dfrac{b^2+1}{b}=b+\bar b$, puis que $O$, $B$, $D$ sont alignés.

Or $\dfrac{b^2+1}{b}=\dfrac db$ (car $d=b^2+1$). Ainsi $\dfrac db\in\R$ : les affixes $d$ et $b$ sont proportionnels par un réel, c'est-à-dire $\vec{OD}$ et $\vec{OB}$ sont colinéaires.

1) $u(x)=e^x-2x+2-3e^{-x}$ sur $\R$.

1.a) Montrer $u'(x)=\dfrac{(e^x-1)^2+2}{e^x}$.

Comme $e^{2x}-2e^x+3=(e^{2x}-2e^x+1)+2=(e^x-1)^2+2$ :

1.b) Tableau de variations de $u$ (sans limites).

Le numérateur $(e^x-1)^2+2\ge2>0$ et $e^x>0$, donc $u'(x)>0$ sur $\R$.

\begin{center}

\end{center}

1.c) En déduire le signe de $u$ (on a $u(0)=0$).

$u(0)=e^0-0+2-3e^0=1+2-3=0$. Comme $u$ est strictement croissante :

2) $v(x)=e^{2x}-2xe^x+2e^x-3$.

2.a) Vérifier $v(x)=e^x u(x)$.

2.b) En déduire le signe de $v$.

Comme $e^x>0$, $v(x)$ a le même signe que $u(x)$ :

3) $W(x)=\dfrac12 e^{2x}+(4-2x)e^x-3x$.

3.a) Montrer que $W$ est une primitive de $v$.

3.b) Calculer $\displaystyle\int_0^2 v(x)\dx$.

($W(2)=\frac12 e^4+(4-4)e^2-6=\frac12 e^4-6$ et $W(0)=\frac12+4=\frac92$.)

3.c) Montrer que $\frac92$ est le minimum absolu de $W$ sur $\R$.

$W'(x)=v(x)$ change de signe en $0$ (négatif puis positif, d'après 2.b), donc $W$ décroît puis croît : elle admet un minimum absolu en $x=0$, égal à $W(0)=\frac12+4=\frac92$.

$g(x)=e^{1-x}+\dfrac1x-2$ sur $]0,+\infty[$.

1) Montrer $g'(x)<0$ sur $]0,+\infty[$.

Pour $x>0$, $e^{1-x}>0$ et $\dfrac{1}{x^2}>0$, donc $g'(x)<0$.

2) Tableau de signes de $g$ (on a $g(1)=0$).

$g(1)=e^{0}+1-2=0$. Comme $g$ est strictement décroissante :

$f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^2+5x-3-2\ln x$ sur $]0,+\infty[$.

1) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ et interpréter.

Quand $x\to0^+$ : $(1-x)e^{1-x}\to e$, $-x^2+5x-3\to-3$, et $-2\ln x\to+\infty$ (car $\ln x\to-\infty$). Le terme $-2\ln x$ l'emporte :

2.a) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Quand $x\to+\infty$ : $(1-x)e^{1-x}\to0$ (l'exponentielle l'emporte), $-2\ln x\to-\infty$, et surtout $-x^2\to-\infty$ domine tout.

2.b) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty$ et interpréter.

(car $-x\to-\infty$ domine, les autres termes tendant vers $0$ ou une constante).

3.a) Montrer $f'(x)=(x-2)g(x)$.

Dérivée de $(1-x)e^{1-x}$ : $\;-e^{1-x}+(1-x)(-e^{1-x})=-e^{1-x}\bigl[1+(1-x)\bigr]=(x-2)e^{1-x}$. Donc Et en développant :

3.b) Sens de variation de $f$.

On combine le signe de $(x-2)$ et celui de $g$ (Partie I) :

\begin{center}

\end{center}

3.c) Tableau de variations de $f$ (on admet $f(2)\approx1{,}25$).

Valeurs : $\displaystyle\lim_{0^+}f=+\infty$, $\displaystyle\lim_{+\infty}f=-\infty$, et $f(1)=(1-1)e^{0}-1+5-3-2\ln1=1$.

\begin{center}

\end{center}

4) Montrer que $f(x)=0$ a une solution unique dans $]3,4[$ (avec $f(3)\approx0{,}5$, $f(4)\approx-1{,}9$).

Sur $[3,4]\subset[2,+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $f(3)\approx0{,}5>0$ et $f(4)\approx-1{,}9<0$, donc $f(3)$ et $f(4)$ sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (et la stricte monotonie) :

5) Construire la courbe $(C_f)$.

Repères : asymptote verticale $x=0$ ; minimum local $(1\,;1)$ ; maximum local $(2\,;\approx1{,}25)$ ; la courbe coupe l'axe des abscisses en $\alpha\in\,]3,4[$.

\begin{center}

\end{center}

On pose $h(x)=f(x)-x$ sur $[1,2]$.

1.a) Montrer que $f(x)\le x$ sur $[1,2]$.

Le tableau de variations de $h$ (fourni) montre que $h$ décroît de $h(1)=0$ à $h(2)$ :

\begin{center}

\end{center} Le maximum de $h$ sur $[1,2]$ est donc $h(1)=0$ : pour tout $x\in[1,2]$, $h(x)\le0$, c'est-à-dire $f(x)-x\le0$.

1.b) Montrer que $1$ est l'unique solution de $f(x)=x$ sur $[1,2]$.

$h$ est strictement décroissante sur $[1,2]$ avec $h(1)=0$, donc $h(x)=0\iff x=1$. Comme $f(x)=x\iff h(x)=0$ :

2) $(u_n)$ : $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

2.a) Montrer par récurrence que $1\le u_n\le2$.

Initialisation. $u_0=2\in[1,2]$ : vrai au rang $0$. [2pt] Hérédité. Supposons $1\le u_n\le2$. Sur $[1,2]$, $f$ est croissante (II.3.b), donc

car $f(1)=1$ et $f(2)\approx1{,}25\le2$.

2.b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

2.c) En déduire la convergence et la limite.

$(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc elle converge vers une limite $\ell\in[1,2]$. Comme $f$ est continue sur $[1,2]$, $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$. Or (question 1.b) la seule solution de $f(x)=x$ sur $[1,2]$ est $1$.