Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les points

A(0,0,2)

,

B(2,0,0)

et la sphère

(S)

de centre

O

et de rayon

R = 2

.

1.a) Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

1.b) Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à la sphère $(S)$ .

2) Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ .

2.a) Déterminer l'intersection du plan $(OAB)$ avec la sphère $(S)$ .

2.b) Vérifier que $\vec{OI} \cdot \vec{AB} = 0$ puis montrer que $d(O, (AB)) = \sqrt{2}$ .

3) On considère un point $M(0,m,0)$ de l'espace, où $m \in \R$ .

3.a) Vérifier que $\vec{AB} \wedge \vec{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$ .

3.b) En déduire que $mx + 2y + mz - 2m = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABM)$ .

3.c) Montrer que $d(O, (ABM)) = \frac{2|m|}{\sqrt{2m^2 + 4}}$ .

4) Le plan $(ABM)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon $r$ . Montrer que $r = \frac{2\sqrt{m^2+4}}{\sqrt{2m^2+4}}$ et en déduire que $\sqrt{2} < r \le 2$ pour tout $m \in \R$ .

Corrigé

$A(0,0,2)$ , $B(2,0,0)$ ; sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon $R=2$ .

1.a) Équation cartésienne de $(S)$ . $(S)$ de centre $O(0,0,0)$ et rayon $2$ : $\boxed{x^2+y^2+z^2=4}$ .

1.b) Vérifier que $A,B\in(S)$ . $A$ : $0+0+2^2=4$ \checkmark ; \ $B$ : $2^2+0+0=4$ \checkmark.

⇒

A

et

B

appartiennent à

(S)

.

2) $I$ milieu de $[AB]$ , donc $I=\left(\dfrac{0+2}{2},0,\dfrac{2+0}{2}\right)=(1,0,1)$ .

2.a) Intersection du plan $(OAB)$ avec $(S)$ .

Les points $O,A,B$ ont tous une ordonnée nulle : le plan $(OAB)$ est le plan $(y=0)$ . Comme il passe par le centre $O$ de la sphère, son intersection avec $(S)$ est un grand cercle.

⇒ C'est le cercle de centre

O

et de rayon

2

contenu dans le plan

(y=0)

.

2.b) Vérifier $\vec{OI}\cdot\vec{AB}=0$ , puis $d(O,(AB))=\sqrt2$ .

$\vec{OI}(1,0,1)$ et $\vec{AB}(2,0,-2)$ :

\vec{OI}\cdot\vec{AB}=1(2)+0(0)+1(-2)=0.

Donc

(OI)\perp(AB)

. Comme

I

est le milieu de

[AB]

,

\vec{OI}

est la perpendiculaire abaissée de

O

sur la droite

(AB)

, d'où

d(O,(AB))=OI=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\boxed{\sqrt2}.

3) $M(0,m,0)$ , $m\in\R$ .

3.a) Vérifier que $\vec{AB}\wedge\vec{AM}=2m\,\vec i+4\,\vec j+2m\,\vec k$ .

$\vec{AB}(2,0,-2)$ , $\vec{AM}=(0,m,-2)$ . Le produit vectoriel :

\begin{aligned} \vec{AB}\wedge\vec{AM} &=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 2&0&-2\\ 0&m&-2\end{vmatrix}\\[2pt] &=\bigl(0\cdot(-2)-(-2)m\bigr)\vec i-\bigl(2(-2)-(-2)0\bigr)\vec j+\bigl(2m-0\bigr)\vec k\\[2pt] &=\boxed{2m\,\vec i+4\,\vec j+2m\,\vec k}. \end{aligned}

3.b) En déduire l'équation du plan $(ABM)$ .

$\vec{AB}\wedge\vec{AM}$ est normal au plan $(ABM)$ ; on peut prendre $\vec n(m,2,m)$ (après division par $2$ ). Équation : $mx+2y+mz+\delta=0$ , avec $A(0,0,2)\in(ABM)$ : $2m+\delta=0\Rightarrow\delta=-2m$ .

⇒

(ABM):\ \boxed{mx+2y+mz-2m=0}

.

3.c) \textit{Montrer que $d(O,(ABM))=\dfrac{2|m|}{\sqrt{2m^2+4}}$ .}

d(O,(ABM))=\frac{|m\cdot0+2\cdot0+m\cdot0-2m|}{\sqrt{m^2+2^2+m^2}}=\frac{|-2m|}{\sqrt{2m^2+4}} =\boxed{\frac{2|m|}{\sqrt{2m^2+4}}}.

4) Le plan $(ABM)$ coupe $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ de rayon $r$ .

Rappel

Pour un plan situé à distance

d<R

du centre d'une sphère de rayon

R

:

r=\sqrt{R^2-d^2}

.

Avec

R=2

et

d=\dfrac{2|m|}{\sqrt{2m^2+4}}

, on a

d^2=\dfrac{4m^2}{2m^2+4}

, donc

r^2=R^2-d^2=4-\frac{4m^2}{2m^2+4}=\frac{4(2m^2+4)-4m^2}{2m^2+4}=\frac{4m^2+16}{2m^2+4}=\frac{4(m^2+4)}{2m^2+4}.

\conclu{

r=\boxed{\dfrac{2\sqrt{m^2+4}}{\sqrt{2m^2+4}}}

.}

Remarque

L'énoncé écrit

r=\dfrac{2\sqrt{m^2+2}}{\sqrt{2m^2+4}}

; mais comme

2m^2+4=2(m^2+2)

, cette expression se simplifie en la constante

\dfrac{2\sqrt{m^2+2}}{\sqrt2\,\sqrt{m^2+2}}=\sqrt2

, ce qui contredirait l'encadrement demandé. Le numérateur correct est

\sqrt{m^2+\mathbf 4}

(par exemple pour

m=0

, le plan passe par

O

et

r=R=2

, et non

\sqrt2

).

Encadrement. On écrit

r^2=\frac{4(m^2+4)}{2(m^2+2)}=\frac{2(m^2+4)}{m^2+2}=\frac{2(m^2+2)+4}{m^2+2}=2+\frac{4}{m^2+2}.

Comme

m^2+2\ge2

, on a

0<\dfrac{4}{m^2+2}\le2

, donc

2<r^2\le4

.

⇒

\sqrt2<r\le2

pour tout

m\in\R

(avec

r=2

pour

m=0

).

Exercice 2 (3.5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{u},\vec{v})

, on considère les points

A, B, C, D

et

\Omega

d'affixes respectives :

a = 1+2i, \quad b = \bar{a}, \quad c = \frac{3}{2}(3+i), \quad d = \frac{3}{2}(1+i) \quad \text{et} \quad \omega = \frac{5}{2}

1.a) Vérifier que $a+b = 2$ et en déduire que l'affixe du point $P$ , milieu du segment $[AB]$ , est $p = 1$ .

1.b) Montrer que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans l'ensemble $\C$ .

2.a) Vérifier que $|\omega - a| = |\omega - b| = |\omega - c| = \frac{5}{2}$ .

2.b) En déduire que $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

3.a) Vérifier que $\frac{d-c}{a-b} = \frac{3}{4}i$ .

3.b) Montrer que $d - b = i(c-a)$ puis en déduire que les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

4) Soit $h$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $k = \frac{2}{3}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ . On pose $h(P) = G$ .

4.a) Vérifier que $z' = \frac{2}{3}z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$ .

4.b) Montrer que l'affixe du point $G$ est $g = \frac{13}{6} + \frac{1}{2}i$ .

5) Montrer que les points $\Omega$ , $G$ et $D$ sont alignés.

Corrigé

$a=1+2i$ , \ $b=\bar a=1-2i$ , \ $c=\dfrac32(3+i)=\dfrac92+\dfrac32 i$ , \ $d=\dfrac32(1+i)=\dfrac32+\dfrac32 i$ , \ $\omega=\dfrac52$ .

1.a) Vérifier $a+b=2$ , en déduire $p$ . $a+b=(1+2i)+(1-2i)=2$ . Le milieu $P$ de $[AB]$ a pour affixe $p=\dfrac{a+b}{2}=\boxed{1}$ .

1.b) Montrer que $a,b$ sont solutions de $z^2-2z+5=0$ .

Rappel

a

et

b

sont les racines de

z^2-Sz+P=0

avec

S=a+b

et

P=a\,b

.

a+b=2

et

a\,b=(1+2i)(1-2i)=1-(2i)^2=1+4=5

.

⇒

a

et

b

sont les solutions de

z^2-2z+5=0

.

\omega-a=\tfrac32-2i,\quad \omega-b=\tfrac32+2i,\quad \omega-c=-2-\tfrac32 i.

|\omega-a|=\sqrt{\tfrac94+4}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac52,\quad |\omega-b|=\tfrac52,\quad |\omega-c|=\sqrt{4+\tfrac94}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac52.

⇒

|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|=\dfrac52

.

2.b) En déduire que $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$ .

$\Omega A=\Omega B=\Omega C=\dfrac52$ : $\Omega$ est équidistant de $A$ , $B$ , $C$ .

⇒

\Omega

est le centre du cercle circonscrit au triangle

ABC

(de rayon

\tfrac52

).

3.a) Vérifier que $\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac34 i$ . $d-c=\dfrac32-\dfrac92=-3$ et $a-b=4i$ , donc

\frac{d-c}{a-b}=\frac{-3}{4i}=\frac{-3}{4i}\cdot\frac{-i}{-i}=\frac{3i}{4}=\boxed{\frac34 i}.

3.b) Montrer que $d-b=i(c-a)$ , et en déduire $(DB)\perp(AC)$ .

d-b=\Bigl(\tfrac32+\tfrac32 i\Bigr)-(1-2i)=\tfrac12+\tfrac72 i,\qquad i(c-a)=i\Bigl(\tfrac72-\tfrac12 i\Bigr)=\tfrac12+\tfrac72 i.

Donc

d-b=i(c-a)

, c'est-à-dire

\dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_A}=i

. Le module

1

et l'argument

\dfrac\pi2

de

i

montrent que les vecteurs

\vec{BD}

et

\vec{AC}

sont orthogonaux.

⇒ Les droites

(DB)

et

(AC)

sont perpendiculaires.

4) $h$ : homothétie de centre $C$ , rapport $k=\dfrac23$ ; $h(P)=G$ .

4.a) Vérifier que $z'=\dfrac23 z+\dfrac32+\dfrac12 i$ .

Rappel

Homothétie de centre

C

(d'affixe

c

) et de rapport

k

:

z'-c=k(z-c)

.

z'=k(z-c)+c=\tfrac23 z+\Bigl(1-\tfrac23\Bigr)c=\tfrac23 z+\tfrac13\cdot\Bigl(\tfrac92+\tfrac32 i\Bigr) =\boxed{\tfrac23 z+\tfrac32+\tfrac12 i}.

4.b) Montrer que $g=\dfrac{13}{6}+\dfrac12 i$ . $G=h(P)$ avec $p=1$ :

g=\tfrac23(1)+\tfrac32+\tfrac12 i=\tfrac23+\tfrac32+\tfrac12 i=\boxed{\tfrac{13}{6}+\tfrac12 i}.

5) Montrer que $\Omega$ , $G$ , $D$ sont alignés.

Méthode

Trois points sont alignés ssi

\dfrac{z_D-z_\Omega}{z_G-z_\Omega}\in\R

.

g-\omega=\tfrac{13}{6}+\tfrac12 i-\tfrac52=-\tfrac13+\tfrac12 i,\qquad d-\omega=\tfrac32+\tfrac32 i-\tfrac52=-1+\tfrac32 i.

\frac{d-\omega}{g-\omega}=\frac{-1+\tfrac32 i}{-\tfrac13+\tfrac12 i}=\frac{-6+9i}{-2+3i}=\frac{3(-2+3i)}{-2+3i}=3\in\R.

⇒

\vec{\Omega D}=3\,\vec{\Omega G}

: les points

\Omega

,

G

et

D

sont alignés.

Exercice 3 (2.5 points)

Une urne contient six boules indiscernables au toucher : [label=•]

Quatre boules blanches numérotées : $0, 1, 1, 1$ .
Deux boules noires numérotées : $0, 1$ . On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les événements suivants : [label=•]

$A$ : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 ».
$B$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur ».

1.a) Montrer que $p(A) = \frac{2}{5}$ .

1.b) Montrer que $p(B) = \frac{7}{15}$ .

1.c) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

2) On répète l'expérience précédente trois fois de suite de manière indépendante. On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre de fois où l'événement $A$ est réalisé.

2.a) Recopier et compléter le tableau représentant la loi de probabilité de $X$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p(X=x_i) &\frac{27}{125} & & & \\ \hline \end{array}

2.b) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ .

Corrigé

Urne : $4$ blanches numérotées $0,1,1,1$ et $2$ noires numérotées $0,1$ . Tirage simultané de $2$ boules : $\dbinom62=15$ tirages équiprobables. On note qu'il y a quatre boules portant le numéro $1$ (trois blanches, une noire).

1.a) Montrer que $p(A)=\dfrac25$ ( $A$ : les deux boules portent le n ${}^\circ$ $1$ ).

p(A)=\frac{\dbinom42}{\dbinom62}=\frac{6}{15}=\boxed{\frac25}.

1.b) Montrer que $p(B)=\dfrac{7}{15}$ ( $B$ : deux boules de même couleur).

Deux blanches ( $\binom42$ ) ou deux noires ( $\binom22$ ) :

p(B)=\frac{\dbinom42+\dbinom22}{15}=\frac{6+1}{15}=\boxed{\frac{7}{15}}.

1.c) $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

$A\cap B$ : deux boules de n ${}^\circ$ $1$ et de même couleur. Les n ${}^\circ$ $1$ de même couleur ne peuvent être que les trois blanches (la seule noire « $1$ » ne peut former une paire) :

p(A\cap B)=\frac{\dbinom32}{15}=\frac{3}{15}=\frac15.

Or

p(A)\,p(B)=\dfrac25\cdot\dfrac{7}{15}=\dfrac{14}{75}

, tandis que

p(A\cap B)=\dfrac15=\dfrac{15}{75}

.

⇒

p(A\cap B)\ne p(A)\,p(B)

: les événements

A

et

B

ne sont pas indépendants.

2) On répète l'expérience $3$ fois de façon indépendante ; $X=$ nombre de réalisations de $A$ .

2.a) Loi de probabilité de $X$ .

Rappel

X

suit la loi binomiale

\mathcal B\!\left(3,\,p\right)

avec

p=p(A)=\dfrac25

:

\ p(X=k)=\dbinom3k\Bigl(\dfrac25\Bigr)^{k}\Bigl(\dfrac35\Bigr)^{3-k}

.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline p(X=x_i) & \dfrac{27}{125} & \dfrac{54}{125} & \dfrac{36}{125} & \dfrac{8}{125}\\\hline \end{array}

(Vérification :

27+54+36+8=125

.)

2.b) Espérance $E(X)$ . $E(X)=n\,p=3\cdot\dfrac25=\boxed{\dfrac65}$ .

Problème (11 points)

Partie I

1) Le graphique ci-contre représente les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ des fonctions $g: x \mapsto x^2$ et $h: x \mapsto 2\ln x - (\ln x)^2$ définies sur $]0, +\infty[$ dans un même repère orthonormé.

1.a) Justifier graphiquement que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $g(x) - h(x) > 0$ .

1.b) En déduire que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1$ .

2.a) Vérifier que la fonction $H: x \mapsto x\ln x - x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto \ln x$ sur $]0, +\infty[$ , puis en déduire que $\int_1^{e^2} \ln x \, \mathrm{d}x = 1 + e^2$ .

2.b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, \mathrm{d}x = 2e^2 - 2$ .

2.c) Résoudre sur l'intervalle $]0, +\infty[$ l'équation $h(x) = 0$ et en déduire les deux points d'intersection de la courbe $(C_h)$ avec l'axe des abscisses.

2.d) En déduire, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_h)$ , l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e^2$ .

Partie II On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \frac{(\ln x)^2}{x}$ . Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1.a) Vérifier que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et donner une interprétation géométrique du résultat.

1.b) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$ (on pourra poser $t = \sqrt{x}$ ), puis calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ .

1.c) En déduire que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

2.a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f'(x) = 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$ .

2.b) Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0, +\infty[$ (on peut utiliser la question Partie I-1-b).

3.a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0, +\infty[$ .

3.b) Vérifier que $e^{-1} < \alpha < 1$ et montrer que $\ln\alpha = -\alpha$ .

3.c) Montrer que $f(x) \le x$ , pour tout $x \in ]0, +\infty[$ .

3.d) Montrer que $y = x$ est l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $1$ .

4) Le graphique ci-contre représente la courbe $(C_f)$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ . Soit $\phi$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $]0, 1]$ .

4.a) Montrer que $\phi$ admet une fonction réciproque $\phi^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer l'expression $\phi^{-1}(x)$ ).

4.b) Montrer que $\phi^{-1}$ est dérivable en $0$ et que $(\phi^{-1})'(0) = \frac{\alpha}{2+2\alpha}$ .

4.c) Recopier la courbe de $\phi$ et construire la courbe de $\phi^{-1}$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Partie III Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = e$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ .

1) Montrer par récurrence que $1 < u_n$ pour tout $n \in \N$ .

2.a) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. (On peut utiliser la question Partie II-3-c)

2.b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2.c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Corrigé

Partie I : inégalités et calculs d'aires

$g(x)=x^2$ , \ $h(x)=2\ln x-(\ln x)^2$ sur $]0,+\infty[$ .

1.a) Justifier graphiquement que $g(x)-h(x)>0$ sur $]0,+\infty[$ .

\begin{center}

\end{center}

Sur $]0,+\infty[$ , la courbe $(C_g)$ est strictement au-dessus de $(C_h)$ : les deux courbes ne se rencontrent jamais. On lit donc directement $\boxed{g(x)-h(x)>0}$ .

1.b) En déduire que $\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1$ sur $]0,+\infty[$ .

De $g(x)-h(x)>0$ , soit $x^2-\bigl(2\ln x-(\ln x)^2\bigr)>0$ , on divise par $x^2>0$ :

1-\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}>0\ \Longrightarrow\ \boxed{\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1}.

2.a) $H:x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de $\ln$ , et $\displaystyle\int_1^{e^2}\ln x\dx=1+e^2$ .

$H'(x)=\ln x+x\cdot\dfrac1x-1=\ln x$ . Donc $H$ est une primitive de $\ln$ sur $]0,+\infty[$ , et

\int_1^{e^2}\ln x\dx=H(e^2)-H(1)=\bigl(2e^2-e^2\bigr)-\bigl(0-1\bigr)=\boxed{e^2+1}.

2.b) Montrer par parties que $\displaystyle\int_1^{e^2}(\ln x)^2\dx=2e^2-2$ .

Méthode

IPP avec

u=(\ln x)^2

,

v'=1

, donc

u'=\dfrac{2\ln x}{x}

,

v=x

.

\int_1^{e^2}(\ln x)^2\dx=\Bigl[x(\ln x)^2\Bigr]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}2\ln x\dx =\bigl(e^2\cdot4-0\bigr)-2(e^2+1)=\boxed{2e^2-2}.

2.c) Résoudre $h(x)=0$ et donner les points d'intersection de $(C_h)$ avec l'axe des abscisses.

$h(x)=\ln x\,(2-\ln x)=0\iff \ln x=0$ ou $\ln x=2\iff x=1$ ou $x=e^2$ .

⇒

(C_h)

coupe l'axe des abscisses en

\boxed{x=1}

et

\boxed{x=e^2}

.

2.d) Aire entre $(C_h)$ , l'axe des abscisses, $x=1$ et $x=e^2$ .

Sur $[1,e^2]$ , $\ln x\in[0,2]$ donc $h(x)=\ln x(2-\ln x)\ge0$ . L'aire vaut

\mathcal A=\int_1^{e^2}\!\bigl(2\ln x-(\ln x)^2\bigr)\dx=2(e^2+1)-(2e^2-2)=\boxed{4}\ \text{u.a.}

Partie II : étude de

f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}

sur

]0,+\infty[

1.a) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ et interprétation.

Quand $x\to0^+$ : $(\ln x)^2\to+\infty$ et $x\to0^+$ , donc $\dfrac{(\ln x)^2}{x}\to+\infty$ . Ainsi $f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\to0-(+\infty)=\boxed{-\infty}$ .

⇒ La droite

x=0

(axe des ordonnées) est asymptote verticale à

(C_f)

.

1.b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=0$ , puis $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

On pose $t=\sqrt x$ ( $t\to+\infty$ ), donc $x=t^2$ et $\ln x=2\ln t$ :

\frac{(\ln x)^2}{x}=\frac{(2\ln t)^2}{t^2}=4\left(\frac{\ln t}{t}\right)^2\xrightarrow[t\to+\infty]{}0,

car

\dfrac{\ln t}{t}\to0

(croissances comparées). Par conséquent

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\Bigl(x-\tfrac{(\ln x)^2}{x}\Bigr)=\boxed{+\infty}.

1.c) En déduire que $y=x$ est asymptote oblique en $+\infty$ .

f(x)-x=-\frac{(\ln x)^2}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.

⇒ La droite

y=x

est asymptote oblique à

(C_f)

au voisinage de

+\infty

.

2.a) Montrer que $f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}$ .

Méthode

On dérive

\dfrac{(\ln x)^2}{x}

comme quotient :

u=(\ln x)^2

,

v=x

.

\left(\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)'=\dfrac{\frac{2\ln x}{x}\cdot x-(\ln x)^2}{x^2}=\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}

, donc

f'(x)=1-\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}.

2.b) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

D'après la Partie I-1.b, $\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1$ pour tout $x>0$ , donc

f'(x)=1-\underbrace{\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}}_{<1}>0.

⇒

f

est strictement croissante sur

]0,+\infty[

.

\begin{center}

\end{center}

3.a) $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0,+\infty[$ .

$f$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ , avec $\displaystyle\lim_{0^+}f=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty$ . Elle réalise donc une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\R$ , et $0$ possède un unique antécédent.

⇒

f(x)=0

admet une unique solution

\alpha\in\,]0,+\infty[

.

3.b) Vérifier $e^{-1}<\alpha<1$ et montrer que $\ln\alpha=-\alpha$ .

$f(e^{-1})=e^{-1}-\dfrac{(-1)^2}{e^{-1}}=\dfrac1e-e<0$ \ et \ $f(1)=1-\dfrac{0}{1}=1>0$ . Comme $f$ est croissante, $\boxed{e^{-1}<\alpha<1}$ . [2pt] De plus $f(\alpha)=0\Rightarrow \alpha=\dfrac{(\ln\alpha)^2}{\alpha}\Rightarrow\alpha^2=(\ln\alpha)^2 \Rightarrow(\alpha-\ln\alpha)(\alpha+\ln\alpha)=0$ . Or $\alpha-\ln\alpha>0$ (car $\ln x<x$ ), donc $\alpha+\ln\alpha=0$ .

⇒

\boxed{\ln\alpha=-\alpha}

.

3.c) Montrer que $f(x)\le x$ pour tout $x>0$ . $f(x)-x=-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\le0$ (car $(\ln x)^2\ge0$ et $x>0$ ).

⇒

f(x)\le x

pour tout

x>0

(égalité ssi

x=1

).

3.d) Montrer que $(T):y=x$ est la tangente à $(C_f)$ en $x=1$ .

$f(1)=1$ et $f'(1)=1-\dfrac{2\ln1-(\ln1)^2}{1}=1$ . Donc $(T):y=f'(1)(x-1)+f(1)=1\cdot(x-1)+1=x$ .

⇒

(T):\ \boxed{y=x}

.

4) $\phi$ : restriction de $f$ à $]0,1]$ .

4.a) $\phi$ admet une réciproque $\phi^{-1}$ sur un intervalle $J$ .

Sur $]0,1]$ , $f$ est continue et strictement croissante, avec $\displaystyle\lim_{0^+}f=-\infty$ et $f(1)=1$ : $\phi$ réalise une bijection de $]0,1]$ sur $]-\infty,1]$ .

⇒

\phi^{-1}

est définie sur

J=\boxed{\,]-\infty,1]\,}

.

4.b) Montrer que $\phi^{-1}$ est dérivable en $0$ et $(\phi^{-1})'(0)=\dfrac{\alpha}{2+2\alpha}$ .

Comme $\phi(\alpha)=f(\alpha)=0$ avec $\alpha\in\,]0,1]$ , on a $\phi^{-1}(0)=\alpha$ . De plus $f'(\alpha)\ne0$ (car $f'>0$ ), donc $\phi^{-1}$ est dérivable en $0$ et $(\phi^{-1})'(0)=\dfrac{1}{f'(\alpha)}$ .

Méthode

On calcule

f'(\alpha)

en remplaçant

\ln\alpha=-\alpha

(question 3.b) dans

f'

.

2\ln\alpha=-2\alpha

et

(\ln\alpha)^2=\alpha^2

, donc

f'(\alpha)=1-\frac{2\ln\alpha-(\ln\alpha)^2}{\alpha^2}=1-\frac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha^2} =1+\frac{2}{\alpha}+1=\frac{2\alpha+2}{\alpha}.

⇒

(\phi^{-1})'(0)=\dfrac{1}{f'(\alpha)}=\boxed{\dfrac{\alpha}{2+2\alpha}}

.

4.c) \textit{Construire $(C_{\phi})$ et $(C_{\phi^{-1}})$ .}

$(C_{\phi^{-1}})$ est le symétrique de $(C_{\phi})$ par rapport à la droite $y=x$ .

\begin{center}

\end{center}

Partie III : suite

(u_n)

définie par

u_0=e

,

u_{n+1}=f(u_n)

1) Montrer par récurrence que $1<u_n$ pour tout $n\in\N$ .

Initialisation. $u_0=e>1$ . Hérédité. Supposons $u_n>1$ . Comme $f$ est strictement croissante et $f(1)=1$ : $u_{n+1}=f(u_n)>f(1)=1$ .

⇒ Par récurrence,

u_n>1

pour tout

n\in\N

.

2.a) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

D'après la Partie II-3.c, $f(x)\le x$ pour tout $x>0$ . En particulier $u_{n+1}=f(u_n)\le u_n$ ; et comme $u_n>1$ , l'égalité (qui n'a lieu qu'en $1$ ) est exclue : $u_{n+1}<u_n$ .

⇒ La suite

(u_n)

est strictement décroissante.

2.b) En déduire que $(u_n)$ converge.

$(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge.

2.c) Déterminer la limite de $(u_n)$ .

La limite $\ell$ vérifie $\ell\ge1$ et $f(\ell)=\ell$ ( $f$ continue) :

\ell-\frac{(\ln\ell)^2}{\ell}=\ell\ \Longrightarrow\ \frac{(\ln\ell)^2}{\ell}=0\ \Longrightarrow\ \ln\ell=0\ \Longrightarrow\ \boxed{\ell=1}.