Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (3 points)

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0 = \frac{3}{2}

et

u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}

pour tout

n \in \N

.

1.a) Vérifier que $u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$ pour tout $n \in \N$ .

1.b) Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ pour tout $n \in \N$ .

2.a) Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2 + u_n}$ pour tout $n \in \N$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.

3.a) Montrer que $0 < 2 - u_{n+1} \le \frac{2}{7}(2-u_n)$ pour tout $n \in \N$ .

3.b) En déduire que $0 < 2 - u_n \le \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^n$ pour tout $n \in \N$ .

3.c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Corrigé

$(u_n)$ : $\ u_0=\dfrac32$ et $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{2+u_n}$ .

1.a) Vérifier que $u_{n+1}=3-\dfrac{4}{2+u_n}$ .

3-\frac{4}{2+u_n}=\frac{3(2+u_n)-4}{2+u_n}=\frac{6+3u_n-4}{2+u_n}=\frac{3u_n+2}{2+u_n}=u_{n+1}.\quad\checkmark

1.b) Montrer par récurrence que $0<u_n<2$ .

Initialisation. $u_0=\dfrac32\in\,]0,2[$ . Hérédité. Si $0<u_n<2$ , alors $2<2+u_n<4$ , donc $\dfrac14<\dfrac{1}{2+u_n}<\dfrac12$ , d'où $-2<-\dfrac{4}{2+u_n}<-1$ et $1<u_{n+1}<2$ . En particulier $0<u_{n+1}<2$ .

⇒ Par récurrence,

0<u_n<2

pour tout

n\in\N

.

2.a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n}$ .

u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{2+u_n}-u_n=\frac{3u_n+2-u_n(2+u_n)}{2+u_n}=\frac{-u_n^2+u_n+2}{2+u_n} =\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n},

car

-u_n^2+u_n+2=-(u_n-2)(u_n+1)=(2-u_n)(1+u_n)

.

2.b) Montrer que $(u_n)$ est croissante et convergente.

Comme $0<u_n<2$ : $1+u_n>0$ , $2-u_n>0$ , $2+u_n>0$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ .

⇒

(u_n)

est croissante ; étant majorée par

2

, elle est convergente.

3.a) Montrer que $0<2-u_{n+1}\le\dfrac27(2-u_n)$ .

2-u_{n+1}=2-\frac{3u_n+2}{2+u_n}=\frac{2(2+u_n)-(3u_n+2)}{2+u_n}=\frac{2-u_n}{2+u_n}>0.

Comme

(u_n)

est croissante,

u_n\ge u_0=\dfrac32

, donc

2+u_n\ge\dfrac72

, c'est-à-dire

\dfrac{1}{2+u_n}\le\dfrac27

.

⇒

0<2-u_{n+1}=\dfrac{2-u_n}{2+u_n}\le\dfrac27(2-u_n)

.

3.b) En déduire que $0<2-u_n\le\dfrac12\left(\dfrac27\right)^n$ .

En itérant l'inégalité précédente :

0<2-u_n\le\frac27(2-u_{n-1})\le\cdots\le\left(\frac27\right)^n(2-u_0)=\left(\frac27\right)^n\cdot\frac12.

⇒

0<2-u_n\le\dfrac12\left(\dfrac27\right)^n

pour tout

n\in\N

.

3.c) Limite de $(u_n)$ . Comme $0<\dfrac27<1$ , $\left(\dfrac27\right)^n\to0$ ; par encadrement $2-u_n\to0$ .

⇒

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\boxed{2}

.

Exercice 2 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les points

A(0,3,3)

,

B(1,2,1)

,

C(2,3,1)

, et le vecteur

\vec{n}(1,-1,1)

. Soit

(P)

le plan d'équation

x - y + z - 6 = 0

.

1.a) Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{n}$ et en déduire que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1.b) Montrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles.

2) Soit $(S)$ la sphère telle que le plan $(ABC)$ soit tangent à $(S)$ en $A$ et le plan $(P)$ soit tangent à $(S)$ en un point $H$ .

2.a) Calculer la distance du point $A$ au plan $(P)$ et en déduire que le rayon de la sphère $(S)$ est $\sqrt{3}$ .

2.b) Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(P)$ .

2.c) Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $(2,1,5)$ .

2.d) Montrer que $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 8z + 18 = 0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

3) Déterminer les deux points d'intersection de la droite $(BH)$ avec la sphère $(S)$ .

Corrigé

$A(0,3,3)$ , $B(1,2,1)$ , $C(2,3,1)$ , $\vec n(1,-1,1)$ ; plan $(P):x-y+z-6=0$ .

1.a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=2\vec n$ et que $A,B,C$ ne sont pas alignés.

$\vec{AB}(1,-1,-2)$ , $\vec{AC}(2,0,-2)$ :

\vec{AB}\wedge\vec{AC}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&-1&-2\\ 2&0&-2\end{vmatrix} =2\,\vec i-2\,\vec j+2\,\vec k=2\vec n\ne\vec0.

⇒

\vec{AB}

et

\vec{AC}

ne sont pas colinéaires :

A

,

B

,

C

ne sont pas alignés.

1.b) Montrer que $(ABC)\parallel(P)$ .

$\vec n(1,-1,1)$ est normal à $(ABC)$ (c'est $\frac12\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ ) et normal à $(P)$ . Les deux plans ont la même direction normale. De plus $A\notin(P)$ (car $0-3+3-6=-6\ne0$ ).

⇒ Les plans

(ABC)

et

(P)

sont strictement parallèles.

2) Sphère $(S)$ tangente à $(ABC)$ en $A$ et à $(P)$ en $H$ .

2.a) Calculer $d(A,(P))$ et en déduire $R=\sqrt3$ .

d(A,(P))=\frac{|0-3+3-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.

Les deux plans tangents

(ABC)

et

(P)

sont parallèles ; la distance qui les sépare vaut donc le diamètre

2R

de la sphère. Or cette distance est

d(A,(P))=2\sqrt3

.

⇒

2R=2\sqrt3

, donc

\boxed{R=\sqrt3}

.

2.b) Représentation paramétrique de $(\Delta)$ par $A$ , orthogonale à $(P)$ .

$(\Delta)$ a pour vecteur directeur $\vec n(1,-1,1)$ et passe par $A(0,3,3)$ :

\boxed{\ \begin{cases}x=t\\ y=3-t\\ z=3+t\end{cases}\quad(t\in\R).\ }

2.c) Montrer que $H(2,1,5)$ .

$H$ est le point de tangence sur $(P)$ , donc $H=(\Delta)\cap(P)$ . En injectant $(\Delta)$ dans $(P)$ :

t-(3-t)+(3+t)-6=0\ \Longrightarrow\ 3t-6=0\ \Longrightarrow\ t=2,

d'où

H=(2,\,3-2,\,3+2)=\boxed{(2,1,5)}

.

2.d) Montrer que $x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0$ est une équation de $(S)$ .

Le centre $\Omega$ est le milieu de $[AH]$ (milieu des deux points de tangence) :

\Omega=\left(\tfrac{0+2}{2},\tfrac{3+1}{2},\tfrac{3+5}{2}\right)=(1,2,4),\qquad \Omega A=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3=R.

(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=3\ \Longrightarrow\ \boxed{x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0}.

3) Points d'intersection de $(BH)$ avec $(S)$ .

Méthode

On paramètre

(BH)

par

M=B+s\,\vec{BH}

, on injecte dans l'équation de

(S)

et on résout en

s

.

\vec{BH}=H-B=(1,-1,4)

, donc

M=(1+s,\,2-s,\,1+4s)

. En reportant dans

(S)

(centre

\Omega(1,2,4)

) :

s^2+(-s)^2+(4s-3)^2=3\ \Longrightarrow\ 18s^2-24s+6=0\ \Longrightarrow\ 3s^2-4s+1=0\ \Longrightarrow\ s=1\ \text{ou}\ s=\tfrac13.

s=1

donne

H(2,1,5)

;

s=\dfrac13

donne

\left(\dfrac43,\dfrac53,\dfrac73\right)

.

⇒ Les deux points d'intersection sont

\boxed{H(2,1,5)}

et

\boxed{\left(\dfrac43,\dfrac53,\dfrac73\right)}

.

Exercice 3 (3.5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{u},\vec{v})

, on considère les points

A, B, C, D

d'affixes respectives :

a = \frac{-\sqrt{3}+i}{2}, \quad b = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}, \quad c = 1+a \quad \text{et} \quad d = c\bar{a}

1) Vérifier que $|a| = 1$ et que $\arg(a) \equiv \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$ .

2) Vérifier que $\frac{c-d}{c-a} = i$ et en déduire que le triangle $ACD$ est rectangle isocèle en $C$ .

3.a) Montrer que $d - a = 1 - i$ et que $b - d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)$ .

3.b) En déduire que les points $A$ , $D$ et $B$ sont alignés.

4) Soit $R$ la transformation du plan qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = az$ .

4.a) Vérifier que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

4.b) Vérifier que $ad = c$ et en déduire que $R(D) = C$ .

4.c) Montrer que $\arg(c) \equiv \frac{5\pi}{12} \pmod{2\pi}$ .

Corrigé

$a=\dfrac{-\sqrt3+i}{2}$ , \ $b=\dfrac{1-i\sqrt3}{2}$ , \ $c=1+a$ , \ $d=c\,\bar a$ .

1) Vérifier que $|a|=1$ et $\arg(a)\equiv\dfrac{5\pi}{6}$ .

$a=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$ , donc $|a|=\sqrt{\dfrac34+\dfrac14}=1$ , et $a=\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}$ (car $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$ ).

⇒

|a|=\boxed1

\ et \

\arg(a)\equiv\boxed{\dfrac{5\pi}{6}}\pmod{2\pi}

, soit

a=e^{i5\pi/6}

.

2) Vérifier $\dfrac{c-d}{c-a}=i$ et nature du triangle $ACD$ .

Comme $c=1+a$ , on a $c-a=1$ . De plus $d=c\bar a$ , donc $c-d=c-c\bar a=c(1-\bar a)$ . Avec $c=\dfrac{2-\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$ et $1-\bar a=\dfrac{2+\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$ :

c(1-\bar a)=\Bigl(\tfrac{2-\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\Bigr)\Bigl(\tfrac{2+\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\Bigr) =\underbrace{\Bigl(\tfrac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}{4}-\tfrac14\Bigr)}_{=\frac14-\frac14=0} +\underbrace{\Bigl(\tfrac{2-\sqrt3}{4}+\tfrac{2+\sqrt3}{4}\Bigr)}_{=1}i=i.

Donc

\dfrac{c-d}{c-a}=\dfrac{i}{1}=\boxed{i}

.

Rappel

\dfrac{z_C-z_D}{z_C-z_A}

a pour module

\dfrac{CD}{CA}

et pour argument l'angle

(\vec{CA},\vec{CD})

.

|i|=1\Rightarrow CD=CA

et

\arg(i)=\dfrac\pi2\Rightarrow(\vec{CA},\vec{CD})\equiv\dfrac\pi2

.

⇒ Le triangle

ACD

est rectangle isocèle en $C$ .

3.a) Montrer que $d-a=1-i$ et $b-d=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(1-i)$ .

On calcule $d=c\bar a=\dfrac{2-\sqrt3}{2}-\dfrac12 i$ . Alors

d-a=\Bigl(\tfrac{2-\sqrt3}{2}-\tfrac12 i\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\Bigr) =\tfrac{2-\sqrt3+\sqrt3}{2}-i=\boxed{1-i}.

b-d=\Bigl(\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\Bigr)-\Bigl(\tfrac{2-\sqrt3}{2}-\tfrac12 i\Bigr) =\tfrac{\sqrt3-1}{2}+\tfrac{1-\sqrt3}{2}i=\boxed{\dfrac{\sqrt3-1}{2}(1-i)}.

3.b) En déduire que $A$ , $D$ , $B$ sont alignés.

$\vec{DB}=b-d=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(1-i)=\dfrac{\sqrt3-1}{2}(d-a)=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\,\vec{AD}$ .

⇒

\vec{DB}

et

\vec{AD}

sont colinéaires :

A

,

D

et

B

sont alignés.

4) $R$ : $z'=az$ .

4.a) Vérifier que $R$ est une rotation (centre, angle).

$z'=az$ avec $|a|=1$ et $a\ne1$ . Le point $O$ (d'affixe $0$ ) est invariant, et $a=e^{i5\pi/6}$ .

⇒

R

est la rotation de centre

\boxed{O}

et d'angle

\boxed{\dfrac{5\pi}{6}}

.

4.b) Vérifier $ad=c$ et en déduire $R(D)=C$ .

ad=\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\Bigr)\Bigl(\tfrac{2-\sqrt3}{2}-\tfrac12 i\Bigr) =\tfrac{2-\sqrt3}{2}+\tfrac12 i=c.

Or

R(D)

a pour affixe

a\cdot d=ad=c

, l'affixe de

C

.

⇒

ad=c

, donc

R(D)=C

.

4.c) Montrer que $\arg(c)\equiv\dfrac{5\pi}{12}$ .

Rappel

Factorisation par l'angle moitié :

1+e^{i\theta}=2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\theta/2}

.

Comme

c=1+a=1+e^{i5\pi/6}

, on a

c=2\cos\frac{5\pi}{12}\;e^{i5\pi/12},\qquad \text{avec }\cos\frac{5\pi}{12}>0.

⇒

\arg(c)\equiv\boxed{\dfrac{5\pi}{12}}\pmod{2\pi}

.

Exercice 4 (2.5 points)

Un sac contient 4 boules blanches et 3 boules noires (les boules sont indiscernables au toucher). Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise deux boules du sac. Les règles du jeu sont les suivantes : [label=•]

Si les deux boules tirées sont blanches, on note : $+5$ .
Si les deux boules tirées sont noires, on note : $-5$ .
Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, on note : $0$ . On considère les événements suivants : [label=•]

$G$ : « noter $+5$ ».
$Z$ : « noter $0$ ».
$N_1$ : « La première boule tirée est noire ».
$B_2$ : « La deuxième boule tirée est blanche ».

1.a) Calculer $p(G)$ , la probabilité de l'événement $G$ .

1.b) Montrer que la probabilité de l'événement $Z$ est $p(Z) = \frac{4}{7}$ .

2.a) Calculer la probabilité $p(N_1 \cap B_2)$ .

2.b) Montrer que $p(B_2) = \frac{4}{7}$ .

2.c) En déduire la probabilité de « noter $0$ » sachant que la deuxième boule tirée est blanche.

Corrigé

Sac : $4$ blanches, $3$ noires. Tirage successif sans remise de $2$ boules : $7\times6=42$ tirages ordonnés équiprobables. Règles : deux blanches $\to+5$ ( $G$ ) ; deux noires $\to-5$ ; couleurs différentes $\to0$ ( $Z$ ).

1.a) Calculer $p(G)$ . $G$ : deux blanches : \ $p(G)=\dfrac47\times\dfrac36=\dfrac{12}{42}=\boxed{\dfrac27}$ .

1.b) Montrer que $p(Z)=\dfrac47$ .

$Z$ : couleurs différentes $=$ (B puis N) ou (N puis B) :

p(Z)=\frac47\cdot\frac36+\frac37\cdot\frac46=\frac{12+12}{42}=\frac{24}{42}=\boxed{\frac47}.

2.a) Calculer $p(N_1\cap B_2)$ . ( $1^{\text{re}}$ noire puis $2^{\text e}$ blanche) : \ $p(N_1\cap B_2)=\dfrac37\times\dfrac46=\dfrac{12}{42}=\boxed{\dfrac27}$ .

2.b) Montrer que $p(B_2)=\dfrac47$ .

Méthode

Formule des probabilités totales selon la couleur de la

1^{\text{re}}

boule.

p(B_2)=\underbrace{\tfrac47\cdot\tfrac36}_{\text{B puis B}}+\underbrace{\tfrac37\cdot\tfrac46}_{\text{N puis B}} =\frac{12+12}{42}=\boxed{\frac47}.

2.c) Probabilité de « noter $0$ » sachant que la $2^{\text e}$ boule est blanche.

Rappel

p_{B_2}(Z)=\dfrac{p(Z\cap B_2)}{p(B_2)}

.

Si la

2^{\text e}

boule est blanche, « couleurs différentes » impose que la

1^{\text{re}}

soit noire : donc

Z\cap B_2=N_1\cap B_2

, d'où

p(Z\cap B_2)=\dfrac27

.

p_{B_2}(Z)=\frac{2/7}{4/7}=\boxed{\frac12}.

Problème (8 points)

On considère la fonction

f

définie sur

\R

par :

f(x) = x - 1 + \frac{4}{e^x + 2}

Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

.

1) Calculer $f(0)$ et $f(\ln 2)$ .

2.a) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ .

2.b) Vérifier que $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - (x-1)) = 0$ , puis interpréter géométriquement ce résultat.

3.a) Vérifier que pour tout $x \in \R$ : $f(x) = x + 1 - \frac{2e^x}{e^x + 2}$ .

3.b) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{e^x}{e^x+2}$ , puis en déduire que la droite d'équation $y = x + 1$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .

3.c) Montrer que pour tout $x \in \R$ : $-1 < f(x) - x < 1$ .

4.a) Montrer que pour tout $x \in \R$ : $f'(x) = \frac{e^{2x} + 4}{(e^x+2)^2}$ .

4.b) En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ .

5.a) Montrer que pour tout $m \in \R$ , l'équation $f(x) = m$ admet une unique solution dans $\R$ .

5.b) Soit $\alpha$ l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ . Vérifier que $-1 < \alpha < 0$ et montrer que $e^\alpha = \frac{2(1+\alpha)}{1-\alpha}$ .

6.a) Montrer que pour tout $x \in \R$ : $f''(x) = \frac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2)^3}$ .

6.b) Étudier le signe de $e^x - 2$ sur $\R$ .

6.c) En déduire que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion que l'on déterminera.

6.d) Montrer que $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln 2$ est l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $\ln 2$ .

7) Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

8.a) Montrer que $\int_0^{\ln 2} \frac{1}{e^x+2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln(3/2)$ .

8.b) Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ , la droite d'équation $y = x - 1$ , l'axe des ordonnées, et la droite d'équation $x = \ln 2$ .

Corrigé

$f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^x+2}$ sur $\R$ .

1) Calculer $f(0)$ et $f(\ln2)$ .

f(0)=-1+\frac4{1+2}=-1+\frac43=\boxed{\frac13},\qquad f(\ln2)=\ln2-1+\frac{4}{2+2}=\ln2-1+1=\boxed{\ln2}.

2.a) Limites en $\pm\infty$ .

En $+\infty$ : $\dfrac{4}{e^x+2}\to0$ , donc $f(x)=x-1+\dfrac{4}{e^x+2}\to\boxed{+\infty}$ . En $-\infty$ : $e^x\to0$ , donc $\dfrac{4}{e^x+2}\to2$ et $f(x)\to x+1\to\boxed{-\infty}$ .

2.b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(x-1)\bigr)=0$ et interprétation.

$f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{e^x+2}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ .

⇒ La droite

y=x-1

est asymptote oblique à

(C_f)

au voisinage de

+\infty

.

3.a) Vérifier que $f(x)=x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+2}$ .

\begin{aligned} x+1-\frac{2e^x}{e^x+2} &=x+\frac{(e^x+2)-2e^x}{e^x+2}=x+\frac{2-e^x}{e^x+2}\\ &=x-1+\frac{(2-e^x)+(e^x+2)}{e^x+2}=x-1+\frac4{e^x+2}=f(x). \end{aligned}

3.b) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^x}{e^x+2}$ et asymptote en $-\infty$ .

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{0}{0+2}=0$ , donc $f(x)-(x+1)=-\dfrac{2e^x}{e^x+2}\to0$ .

⇒ La droite

y=x+1

est asymptote oblique à

(C_f)

au voisinage de

-\infty

.

3.c) Montrer que $-1<f(x)-x<1$ .

On a $f(x)-x=\dfrac{2-e^x}{e^x+2}$ . En posant $t=e^x>0$ :

\frac{2-t}{t+2}<1\iff 2-t<t+2\iff t>0\quad(\text{vrai}),

\frac{2-t}{t+2}>-1\iff 2-t>-t-2\iff 2>-2\quad(\text{vrai}).

⇒

-1<f(x)-x<1

pour tout

x\in\R

:

(C_f)

est dans la bande entre

y=x-1

et

y=x+1

.

4.a) \textit{Montrer que $f'(x)=\dfrac{e^{2x}+4}{(e^x+2)^2}$ .}

$f(x)=x-1+4(e^x+2)^{-1}$ , donc $f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{(e^x+2)^2}=\dfrac{(e^x+2)^2-4e^x}{(e^x+2)^2}$ . Or $(e^x+2)^2-4e^x=e^{2x}+4e^x+4-4e^x=e^{2x}+4$ . \conclu{ $f'(x)=\boxed{\dfrac{e^{2x}+4}{(e^x+2)^2}}$ .}

4.b) En déduire que $f$ est strictement croissante.

Le numérateur $e^{2x}+4>0$ et le dénominateur $(e^x+2)^2>0$ , donc $f'(x)>0$ .

⇒

f

est strictement croissante sur

\R

.

\begin{center}

\end{center}

5.a) Pour tout $m\in\R$ , $f(x)=m$ admet une unique solution.

$f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , avec $\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty$ : elle réalise une bijection de $\R$ sur $\R$ .

⇒ Pour tout

m\in\R

,

f(x)=m

admet une unique solution.

5.b) $\alpha$ : solution de $f(x)=0$ . Vérifier $-1<\alpha<0$ et $e^\alpha=\dfrac{2(1+\alpha)}{1-\alpha}$ .

$f(-1)=-2+\dfrac{4}{e^{-1}+2}\approx-0{,}31<0$ et $f(0)=\dfrac13>0$ : par stricte croissance, $\boxed{-1<\alpha<0}$ . [2pt] De $f(\alpha)=0$ : $\ \alpha-1+\dfrac{4}{e^\alpha+2}=0\Rightarrow\dfrac{4}{e^\alpha+2}=1-\alpha \Rightarrow e^\alpha+2=\dfrac{4}{1-\alpha}\Rightarrow e^\alpha=\dfrac{4-2(1-\alpha)}{1-\alpha}$ .

⇒

e^\alpha=\boxed{\dfrac{2(1+\alpha)}{1-\alpha}}

(licite car

1-\alpha>0

).

6.a) Montrer que $f''(x)=\dfrac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2)^3}$ .

En dérivant $f'(x)=(e^{2x}+4)(e^x+2)^{-2}$ :

\begin{aligned} f''(x)&=\frac{2e^{2x}(e^x+2)-2e^x(e^{2x}+4)}{(e^x+2)^3}=\frac{2e^x\bigl[e^{2x}+2e^x-e^{2x}-4\bigr]}{(e^x+2)^3}\\ &=\frac{2e^x(2e^x-4)}{(e^x+2)^3}=\boxed{\dfrac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2)^3}}. \end{aligned}

6.b) Signe de $e^x-2$ . $e^x-2>0\iff x>\ln2$ ; \ $e^x-2<0\iff x<\ln2$ ; \ $e^x-2=0\iff x=\ln2$ .

6.c) Point d'inflexion.

$4e^x>0$ et $(e^x+2)^3>0$ : le signe de $f''$ est celui de $e^x-2$ . Donc $f''$ s'annule en changeant de signe en $x=\ln2$ , et $f(\ln2)=\ln2$ .

⇒

(C_f)

admet un point d'inflexion

\boxed{I(\ln2,\ \ln2)}

.

6.d) Tangente en $\ln2$ .

$f'(\ln2)=\dfrac{e^{2\ln2}+4}{(e^{\ln2}+2)^2}=\dfrac{4+4}{(2+2)^2}=\dfrac{8}{16}=\dfrac12$ , et $f(\ln2)=\ln2$ . Donc

(T):y=\tfrac12(x-\ln2)+\ln2=\boxed{\tfrac12 x+\tfrac12\ln2}.

7) Construire $(C_f)$ .

\begin{center}

\end{center}

8.a) Montrer que $\displaystyle\int_0^{\ln2}\frac{1}{e^x+2}\dx=\frac12\ln\frac32$ .

Méthode

On écrit

\dfrac{1}{e^x+2}=\dfrac12\left(\dfrac{(e^x+2)-e^x}{e^x+2}\right)=\dfrac12\left(1-\dfrac{e^x}{e^x+2}\right)

, et

\dfrac{e^x}{e^x+2}

est de la forme

\dfrac{w'}{w}

.

\int_0^{\ln2}\frac{1}{e^x+2}\dx=\frac12\Bigl[x-\ln(e^x+2)\Bigr]_0^{\ln2} =\frac12\bigl[(\ln2-\ln4)-(0-\ln3)\bigr]=\frac12\ln\frac{2\cdot3}{4}=\boxed{\frac12\ln\frac32}.

8.b) Aire entre $(C_f)$ , $y=x-1$ , l'axe $(Oy)$ et $x=\ln2$ .

Sur $[0,\ln2]$ , $f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{e^x+2}>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $y=x-1$ . Donc

\mathcal A=\int_0^{\ln2}\!\bigl(f(x)-(x-1)\bigr)\dx=\int_0^{\ln2}\frac{4}{e^x+2}\dx =4\cdot\frac12\ln\frac32=\boxed{2\ln\frac32}\ \text{u.a.}