Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (3 points)

On considère la suite numérique

(u_n)

définie par

u_0 = 0

et

u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5}

pour tout

n \in \N

.

1) Montrer que pour tout $n \in \N$ : $u_n > -1$ .

2) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.

3) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par $v_n = \frac{3}{1 + u_n}$ pour tout $n \in \N$ .

3.a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$ et déterminer son premier terme.

3.b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \N$ , puis en déduire la limite de $(u_n)$ .

4) On pose $w_n = e^{3-v_n}$ et $S_n = w_0 + w_1 + \dots + w_n$ pour tout $n \in \N$ .

4.a) Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

4.b) Calculer la limite de la somme $S_n$ .

Corrigé

$(u_n)$ : $\;u_0=0\;$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}$ .

1) Montrer que $u_n>-1$ .

Initialisation. $u_0=0>-1$ . [2pt] Hérédité. Supposons $u_n>-1$ . Alors

u_{n+1}+1=\frac{u_n-2}{2u_n+5}+1=\frac{3u_n+3}{2u_n+5}=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}.

Or

u_n>-1

donne

u_n+1>0

et

2u_n+5>3>0

, donc

u_{n+1}+1>0

.

⇒ Pour tout

n\in\N

,

u_n>-1

.

2) Montrer que $(u_n)$ est décroissante, puis convergente.

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n-2}{2u_n+5}-u_n=\frac{u_n-2-u_n(2u_n+5)}{2u_n+5}=\frac{-2u_n^2-4u_n-2}{2u_n+5}=\frac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5}<0.

(u_n)

est décroissante et minorée par

-1

:

⇒

(u_n)

est convergente.

3) $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$ .

3.a) Montrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $2$ ; premier terme.

\begin{aligned} v_{n+1}=\frac{3}{1+u_{n+1}}=\frac{3(2u_n+5)}{(2u_n+5)+(u_n-2)}&=\frac{3(2u_n+5)}{3(u_n+1)}=\frac{2(u_n+1)+3}{u_n+1}\\ &=2+\frac{3}{u_n+1}=2+v_n. \end{aligned}

⇒

(v_n)

est arithmétique de raison

r=2

,

v_0=\dfrac{3}{1+0}=3

.

3.b) Exprimer $u_n$ , puis $\lim u_n$ .

$v_n=v_0+2n=3+2n$ . De $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$ : $1+u_n=\dfrac3{v_n}$ , donc

u_n=\frac{3}{3+2n}-1=\frac{-2n}{3+2n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\boxed{-1}.

4) $w_n=e^{3-v_n}$ , $S_n=w_0+\dots+w_n$ .

4.a) Montrer que $(w_n)$ est géométrique ; raison et premier terme.

$3-v_n=3-(3+2n)=-2n$ , donc $w_n=e^{-2n}=(e^{-2})^n$ .

⇒

(w_n)

est géométrique de raison

q=e^{-2}

et de premier terme

w_0=1

.

4.b) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n$ .

$S_n=\dfrac{1-(e^{-2})^{n+1}}{1-e^{-2}}$ , et $0<e^{-2}<1$ donne $(e^{-2})^{n+1}\to0$ :

⇒

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{1}{1-e^{-2}}=\frac{e^2}{e^2-1}

.

Exercice 2 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les points

A(2,1,2)

,

B(-2,0,5)

,

C(4,-5,7)

et

\Omega(1,-1,0)

. On pose

\vec{u} = \vec{\Omega A}

. Soit

(S)

la sphère de centre

\Omega

et de rayon

R = 3

.

1.a) Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 13\vec{u}$ et en déduire que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1.b) Vérifier que $x + 2y + 2z - 8 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .

1.c) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$ .

2) Soient $(P)$ le plan d'équation $3x + 4y + z + 1 = 0$ et $(\Delta)$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$ .

2.a) Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe le plan $(P)$ au point $H\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right)$ .

2.b) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le point $H$ soit le milieu du segment $[AD]$ .

3) Soit $(Q)$ le plan passant par le point $D$ et de vecteur normal $\vec{\Omega D}$ .

3.a) Montrer que le plan $(Q)$ est tangent à la sphère $(S)$ en $D$ .

3.b) Montrer que les plans $(Q)$ et $(ABC)$ se coupent suivant la droite $(BC)$ .

Corrigé

$A(2,1,2)$ , $B(-2,0,5)$ , $C(4,-5,7)$ , $\Omega(1,-1,0)$ ; $\vec u=\vec{\Omega A}$ ; sphère $(S)$ de centre $\Omega$ , $R=3$ .

1.a) Montrer $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=13\vec u$ ; en déduire que $A,B,C$ ne sont pas alignés.

$\vec{AB}=(-4,-1,3)$ , $\vec{AC}=(2,-6,5)$ , $\vec u=\vec{\Omega A}=(1,2,2)$ . Alors

\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\bigl((-1)5-3(-6),\ 3\cdot2-(-4)5,\ (-4)(-6)-(-1)2\bigr)=(13,26,26)=13\vec u.

Ce vecteur est non nul :

⇒

A

,

B

,

C

ne sont pas alignés.

1.b) Vérifier $(ABC):x+2y+2z-8=0$ .

Vecteur normal $\vec u=(1,2,2)$ , d'où $x+2y+2z+d=0$ ; avec $A(2,1,2)$ : $2+2+4+d=0$ , $d=-8$ .

⇒

(ABC):x+2y+2z-8=0

.

1.c) Montrer que $(ABC)$ est tangent à $(S)$ en $A$ .

$d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|1-2+0-8|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac93=3=R$ : tangence. Comme $\Omega A=\|\vec u\|=3=R$ , $A\in(S)$ , et $\vec{\Omega A}$ est normal au plan.

⇒

(ABC)

est tangent à

(S)

au point

A

.

2) $(P):3x+4y+z+1=0$ ; $(\Delta)$ par $A$ , orthogonale à $(P)$ .

2.a) Montrer que $(\Delta)$ coupe $(P)$ en $H\bigl(\frac12,-1,\frac32\bigr)$ .

$(\Delta)$ est dirigée par le normal de $(P)$ , $\vec n_P=(3,4,1)$ : $M(2+3t,1+4t,2+t)$ . En reportant dans $(P)$ :

3(2+3t)+4(1+4t)+(2+t)+1=0\iff26t+13=0\iff t=-\tfrac12.

⇒

H=\bigl(\tfrac12,-1,\tfrac32\bigr)

.

2.b) Coordonnées de $D$ tel que $H$ soit le milieu de $[AD]$ .

$D=2H-A=(1-2,\,-2-1,\,3-2)=\boxed{(-1,-3,1)}$ .

3) $(Q)$ : plan par $D$ , normal $\vec{\Omega D}$ .

3.a) Montrer que $(Q)$ est tangent à $(S)$ en $D$ .

$\vec{\Omega D}=(-2,-2,1)$ , $\|\vec{\Omega D}\|=\sqrt{4+4+1}=3=R$ , donc $D\in(S)$ . Le plan $(Q)$ passe par $D\in(S)$ et a pour normal $\vec{\Omega D}$ (le rayon en $D$ ).

⇒

(Q)

est tangent à

(S)

en

D

.

3.b) Montrer que $(Q)\cap(ABC)=(BC)$ .

Équation de $(Q)$ : $-2(x+1)-2(y+3)+(z-1)=0$ , soit $2x+2y-z+9=0$ . On vérifie :

B:\ 2(-2)+0-5+9=0,\qquad C:\ 8-10-7+9=0,

donc

B,C\in(Q)

; et

B,C\in(ABC)

. Les plans

(Q)

et

(ABC)

étant distincts (normaux non colinéaires), leur intersection est la droite commune.

⇒

(Q)\cap(ABC)=(BC)

.

Exercice 3 (3 points)

1) On considère le nombre complexe $a = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$ .

1.a) Montrer que $a = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ .

1.b) En déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $\bar{a}$ . Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $R$ de centre $O$ qui transforme $B$ en $A$ .

3) On considère dans $\C$ l'équation $(E_\alpha) : z^2 - 3z + \alpha = 0$ , où $\alpha$ est un nombre réel non nul. On suppose que l'équation $(E_\alpha)$ admet deux racines complexes conjuguées non réelles $z$ et $\bar{z}$ . Soient les points $M(z)$ , $N(\bar{z})$ et $P(3)$ dans le plan complexe. Sans résoudre l'équation $(E_\alpha)$ :

3.a) Justifier que $\alpha > \frac{9}{4}$ et que $\alpha = z\bar{z}$ .

3.b) Montrer que $z + \bar{z} = 3$ .

3.c) En déduire que les points $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[OP]$ .

3.d) Déterminer la valeur de $\alpha$ pour laquelle $|z - 3| = 3$ .

Corrigé

1) $a=\dfrac32+\dfrac{3\sqrt3}{2}i$ .

1.a) Montrer $a=3\bigl(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\bigr)$ .

$3\bigl(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\bigr)=3\bigl(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\bigr)=\frac32+\frac{3\sqrt3}{2}i=a.$ $\checkmark$

1.b) En déduire que $a^{2022}$ est réel.

$a=3e^{i\pi/3}$ , donc $a^{2022}=3^{2022}e^{i\,2022\pi/3}=3^{2022}e^{i\,674\pi}=3^{2022}$ (car $674$ est pair).

⇒

a^{2022}=3^{2022}\in\R

.

2) $A(a)$ , $B(\bar a)$ : angle de la rotation $R$ de centre $O$ envoyant $B$ sur $A$ .

$|a|=|\bar a|=3$ , donc $R$ existe ; son angle $\theta$ vérifie $a=e^{i\theta}\bar a$ , soit $e^{i\theta}=\dfrac{a}{\bar a}=\dfrac{3e^{i\pi/3}}{3e^{-i\pi/3}}=e^{i\,2\pi/3}$ .

⇒ L'angle de

R

est

\dfrac{2\pi}{3}

.

3) $(E_\alpha):z^2-3z+\alpha=0$ ( $\alpha\in\R^*$ ), racines complexes conjuguées non réelles $z,\bar z$ ; $M(z)$ , $N(\bar z)$ , $P(3)$ .

3.a) Justifier $\alpha>\frac94$ et $\alpha=z\bar z$ .

Racines non réelles $\iff\Delta=9-4\alpha<0\iff\alpha>\dfrac94$ . Et le produit des racines vaut $z\bar z=\dfrac{\alpha}{1}=\alpha$ .

⇒

\alpha>\dfrac94

et

\alpha=z\bar z=|z|^2

.

3.b) Montrer que $z+\bar z=3$ .

La somme des racines vaut $z+\bar z=-\dfrac{-3}{1}=3$ .

⇒

z+\bar z=3

, c'est-à-dire

\bar z=3-z

.

Remarque

L'énoncé écrit «

\bar z=z-3

» (avec une rature) : la relation correcte issue de la somme des racines est

z+\bar z=3

, soit

\bar z=3-z

.

3.c) En déduire que $M$ et $N$ sont sur la médiatrice $(\Delta)$ de $[OP]$ .

$z+\bar z=3\Rightarrow\mathrm{Re}(z)=\dfrac32$ . Or la médiatrice de $[OP]$ ( $O$ et $P(3)$ ) est la droite $x=\dfrac32$ .

⇒

M(z)

et

N(\bar z)

ont pour partie réelle

\frac32

: ils sont sur

(\Delta)

.

3.d) Valeur de $\alpha$ pour laquelle $|z-3|=3$ .

Comme $z-3=z-(z+\bar z)=-\bar z$ , on a $|z-3|=|\bar z|=|z|$ . Donc

|z-3|=3\iff|z|=3\iff\alpha=|z|^2=9.

⇒

\alpha=9

.

Exercice 4 (3 points)

Une urne contient quatre boules blanches et deux boules noires, indiscernables au toucher.

1) On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne.

1.a) Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « tirer au moins une boule noire ».

1.b) Soit l'événement $B$ : « obtenir deux boules de même couleur ». Montrer que $p(B) = \frac{7}{15}$ .

1.c) On répète cette expérience cinq fois en remettant dans l'urne les boules tirées après chaque tirage. Quelle est la probabilité pour que l'événement $B$ soit réalisé exactement trois fois ?

2) Dans cette question, on tire des boules de l'urne, une après l'autre et sans remise, et on arrête le tirage lorsqu'on obtient une boule blanche pour la première fois. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de tirages effectués.

2.a) Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $1, 2$ et $3$ .

2.b) Montrer que $p(X=2) = \frac{4}{15}$ .

2.c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

Corrigé

Urne : $4$ blanches, $2$ noires ( $6$ boules).

1) Tirage simultané de $2$ boules ( $\binom62=15$ ).

1.a) $p(A)$ , $A$ : « au moins une noire ».

$p(A)=1-p(\text{aucune noire})=1-\dfrac{\binom42}{\binom62}=1-\dfrac{6}{15}=\boxed{\dfrac35}$ .

1.b) Montrer $p(B)=\frac{7}{15}$ ( $B$ : « deux boules de même couleur »).

$p(B)=\dfrac{\binom42+\binom22}{\binom62}=\dfrac{6+1}{15}=\boxed{\dfrac7{15}}$ .

1.c) $5$ répétitions avec remise : $B$ réalisé exactement $3$ fois.

Rappel

Schéma de Bernoulli :

p(k\text{ succès})=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

.

Avec

n=5

,

p=\dfrac7{15}

,

k=3

:

\binom53\Bigl(\frac7{15}\Bigr)^3\Bigl(\frac8{15}\Bigr)^2=10\cdot\frac{343\cdot64}{15^5}=\frac{219520}{759375}\approx0{,}29.

2) Tirages successifs sans remise, arrêt à la première blanche ; $X=$ nombre de tirages.

2.a) Justifier $X\in\{1,2,3\}$ .

Il n'y a que $2$ noires : après au plus $2$ noires, la boule suivante est blanche. Donc l'arrêt survient au plus au $3^{\text e}$ tirage.

⇒

X\in\{1,2,3\}

.

2.b) Montrer $p(X=2)=\frac{4}{15}$ .

$X=2$ : noire puis blanche : $p(X{=}2)=\dfrac26\cdot\dfrac45=\boxed{\dfrac4{15}}$ .

2.c) Loi de probabilité de $X$ .

$p(X{=}1)=\dfrac46=\dfrac23$ ; $\ p(X{=}3)=\dfrac26\cdot\dfrac15\cdot1=\dfrac1{15}$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k & 1 & 2 & 3\\\hline p(X=k) & \dfrac23 & \dfrac4{15} & \dfrac1{15}\\\hline \end{array} \qquad\Bigl(\tfrac{10}{15}+\tfrac4{15}+\tfrac1{15}=1\Bigr)

Problème (8 points)

On considère la fonction numérique

f

définie sur

\R

par :

\begin{cases} f(x) = (x-1)^2 e^{x(2-x)} & \text{si } x \le 2 \\ f(x) = 1 + (x-2)^2\ln(x-2) & \text{si } x > 2 \end{cases}

Soit

(C)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 1cm).

1) Montrer que la fonction $f$ est continue au point 2.

2.a) Vérifier que pour tout $x < 2$ et $x \ne 0$ : $\frac{f(x) - f(2)}{x-2} = x e^{x(2-x)} - \frac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}x$ .

2.b) Montrer que $f$ est dérivable à gauche en 2.

2.c) Montrer que $f$ est dérivable en 2 et que $f'(2) = 0$ , puis interpréter géométriquement.

3.a) Vérifier que pour tout $x \le 2$ : $f(x) = x(x-2)e^{x(2-x)} + e^{x(2-x)}$ .

3.b) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et interpréter géométriquement.

3.c) Calculer $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ , puis interpréter.

4.a) Montrer que pour tout $x < 2$ : $f'(x) = 2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}$ .

4.b) Montrer que pour tout $x > 2$ : $f'(x) = (x-2)(1 + 2\ln(x-2))$ .

4.c) Résoudre dans l'intervalle $]2, +\infty[$ l'inéquation $1 + 2\ln(x-2) \le 0$ .

4.d) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .

5) Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on donne $f(3) = 1$ , $2 + 1/\sqrt{e} \approx 2.6$ et $f(2+1/\sqrt{e}) \approx 0.8$ ).

6) Soit $\lambda \in ]2, 3[$ .

6.a) En utilisant une intégration par parties, montrer que :

\int_\lambda^3 (x-2)^2 \ln(x-2)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{9} + \frac{1}{3}(\lambda-2)^3\left(\frac{1}{3} - \ln(\lambda-2)\right)

6.b) En déduire en fonction de $\lambda$ l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C)$ et les droites $y = 1$ , $x = \lambda$ et $x = 3$ .

6.c) Calculer $\lim\limits_{\lambda \to 2^+} \mathcal{A}(\lambda)$ .

Corrigé

f(x)=\begin{cases}(x-1)^2\,e^{x(2-x)} & \text{si }x\le2\\[2pt] 1+(x-2)^2\ln(x-2) & \text{si }x>2\end{cases}

Remarque

L'énoncé écrit

f(x)=(x-1)\,e^{x(2-x)}

pour

x\le2

; avec cette forme les questions 2.a, 3.a et 4.a sont incohérentes. La fonction correcte est

f(x)=(x-1)^2 e^{x(2-x)}

(le carré), utilisée ici.

1) Montrer que $f$ est continue en $2$ .

$f(2)=(2-1)^2e^0=1$ . À droite : $\displaystyle\lim_{x\to2^+}\bigl[1+(x-2)^2\ln(x-2)\bigr]=1$ (car $t^2\ln t\to0$ ). À gauche, $f$ est continue et $\lim_{x\to2^-}f(x)=1$ .

⇒

f

est continue en

2

(et

f(2)=1

).

2.a) \textit{Vérifier que pour $x<2$ , $x\ne0$ : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=xe^{x(2-x)}-\dfrac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}\,x$ .}

Posons $E=e^{x(2-x)}$ . Le membre de droite vaut $xE-\dfrac{(E-1)x}{x(2-x)}=xE+\dfrac{E-1}{x-2}$ , dont le produit par $(x-2)$ est

x(x-2)E+(E-1)=(x^2-2x+1)E-1=(x-1)^2E-1=f(x)-f(2).

⇒ L'égalité est vérifiée.

2.b) Montrer que $f$ est dérivable à gauche en $2$ .

Rappel

\displaystyle\lim_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}=1

.

Quand

x\to2^-

:

xE\to2

(car

E\to1

) et

\dfrac{E-1}{x(2-x)}\cdot x\to1\cdot2=2

(avec

u=x(2-x)\to0

). Donc le taux d'accroissement tend vers

2-2=0

.

⇒

f

est dérivable à gauche en

2

,

f'_g(2)=0

.

2.c) Montrer que $f$ est dérivable en $2$ , $f'(2)=0$ , et interpréter.

À droite : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=(x-2)\ln(x-2)\to0$ , donc $f'_d(2)=0=f'_g(2)$ .

⇒

f

est dérivable en

2

avec

f'(2)=0

:

(C)

admet une tangente horizontale au point

(2\,;1)

.

3.a) Vérifier que pour $x\le2$ : $f(x)=x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}$ .

$x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}=e^{x(2-x)}\bigl[x(x-2)+1\bigr]=e^{x(2-x)}(x-1)^2=f(x).$ $\checkmark$

3.b) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et interprétation.

$f(x)=(x^2-2x+1)e^{x(2-x)}$ ; en $-\infty$ , $x(2-x)=2x-x^2\to-\infty$ , et l'exponentielle l'emporte sur le polynôme, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ .

⇒ La droite

y=0

(axe des abscisses) est asymptote horizontale en

-\infty

.

3.c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ ; interprétation.

Pour $x>2$ : $(x-2)^2\ln(x-2)\to+\infty$ , donc $\lim_{+\infty}f=+\infty$ ; et

\frac{f(x)}{x}=\frac{1+(x-2)^2\ln(x-2)}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty.

⇒

(C)

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

+\infty

.

4.a) Montrer que pour $x<2$ : $f'(x)=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}$ .

Avec $f=(x-1)^2e^{x(2-x)}$ et $\bigl(e^{x(2-x)}\bigr)'=(2-2x)e^{x(2-x)}$ :

\begin{aligned} f'(x)&=e^{x(2-x)}\bigl[2(x-1)+(x-1)^2(2-2x)\bigr]=e^{x(2-x)}\cdot2(x-1)\bigl[1-(x-1)^2\bigr]\\ &=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}. \end{aligned}

4.b) Montrer que pour $x>2$ : $f'(x)=(x-2)(1+2\ln(x-2))$ .

f'(x)=2(x-2)\ln(x-2)+(x-2)^2\cdot\frac1{x-2}=(x-2)\bigl(2\ln(x-2)+1\bigr).

4.c) Résoudre $1+2\ln(x-2)\le0$ sur $]2,+\infty[$ .

1+2\ln(x-2)\le0\iff\ln(x-2)\le-\tfrac12\iff x-2\le e^{-1/2}\iff x\le2+\tfrac1{\sqrt e}.

⇒

S=\Bigl]2\,;\,2+\dfrac1{\sqrt e}\Bigr]

.

4.d) Signe de $f'$ et tableau de variations de $f$ .

Pour $x<2$ : $e^{x(2-x)}>0$ et $2-x>0$ , donc $f'$ a le signe de $x(x-1)$ : positif sur $]-\infty,0[$ , négatif sur $]0,1[$ , positif sur $]1,2[$ . Pour $x>2$ : $f'$ a le signe de $1+2\ln(x-2)$ : négatif sur $]2,2+\frac1{\sqrt e}[$ , positif après. Valeurs : $f(0)=1$ , $f(1)=0$ , $f(2)=1$ , $f(2+\frac1{\sqrt e})\approx0{,}8$ .

\begin{center}

\end{center} (

f\ge0

sur

\R

, nulle seulement en

x=1

.)

5) Construire $(C)$ ( $f(3)=1$ , $2+\frac1{\sqrt e}\approx2{,}6$ , $f(2+\frac1{\sqrt e})\approx0{,}8$ ).

Remarque

L'énoncé note «

2+1/e\approx2{,}6

» ; or

2+1/e\approx2{,}37

. La valeur

2{,}6

correspond à

2+\dfrac1{\sqrt e}=2+e^{-1/2}

(abscisse du minimum sur

]2,+\infty[

).

\begin{center}

\end{center}

6) $\lambda\in\,]2,3[$ .

6.a) Montrer $\displaystyle\int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\dx=-\frac19+\frac13(\lambda-2)^3\Bigl(\frac13-\ln(\lambda-2)\Bigr)$ .

Méthode

On pose

t=x-2

:

\int_{\lambda-2}^1 t^2\ln t\,\mathrm dt

, puis IPP avec

u=\ln t

,

v'=t^2

.

\displaystyle\int t^2\ln t\,\mathrm dt=\frac{t^3}{3}\ln t-\int\frac{t^2}{3}\,\mathrm dt=\frac{t^3}{3}\ln t-\frac{t^3}{9}

. Entre

\lambda-2

et

1

:

\begin{aligned} \Bigl[\frac{t^3}{3}\ln t-\frac{t^3}{9}\Bigr]_{\lambda-2}^1&=-\frac19-\Bigl(\frac{(\lambda-2)^3}{3}\ln(\lambda-2)-\frac{(\lambda-2)^3}{9}\Bigr)\\ &=-\frac19+\frac13(\lambda-2)^3\Bigl(\frac13-\ln(\lambda-2)\Bigr). \end{aligned}

6.b) En déduire l'aire $\mathcal A(\lambda)$ entre $(C)$ , $y=1$ , $x=\lambda$ , $x=3$ .

Sur $]2,3[$ , $f(x)-1=(x-2)^2\ln(x-2)<0$ (car $\ln(x-2)<0$ ), donc $(C)$ est sous la droite $y=1$ :

\mathcal A(\lambda)=\int_\lambda^3\bigl(1-f(x)\bigr)\dx=-\int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\dx.

⇒

\mathcal A(\lambda)=\dfrac19-\dfrac13(\lambda-2)^3\Bigl(\dfrac13-\ln(\lambda-2)\Bigr)\ \ (\text{cm}^2)

.

6.c) Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to2^+}\mathcal A(\lambda)$ .

Quand $\lambda\to2^+$ , $(\lambda-2)^3\to0$ et $(\lambda-2)^3\ln(\lambda-2)\to0$ , donc le second terme tend vers $0$ .

⇒

\displaystyle\lim_{\lambda\to2^+}\mathcal A(\lambda)=\frac19\ \text{cm}^2

.