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Ce chapitre aborde l'étude des limites de fonctions aux bornes de leur ensemble de définition, l'étude de la continuité sur un intervalle, et l'application majeure qu'est le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

Limites de Fonctions

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction ff lorsque sa variable xx devient très grande (positivement ou négativement) ou s'approche d'une valeur interdite.

Limites à l'infini et asymptotes horizontales
DéfinitionLimite finie à l'infini
Soit L∈RL \in \R et ff une fonction définie sur un intervalle ]a,+∞[]a, +\infty[. On dit que la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers +∞+\infty est égale à LL si tout intervalle ouvert contenant LL contient toutes les valeurs f(x)f(x) pour xx assez grand. On note alors :
lim⁡x→+∞f(x)=L\lim_{x \to +\infty} f(x) = L
Géométriquement, la droite d'équation y=Ly = L est appelée asymptote horizontale à la courbe Cf\mathcal{C}_f en +∞+\infty. Une définition analogue s'applique en −∞-\infty.
DéfinitionLimite infinie à l'infini
On dit que la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers +∞+\infty est égale à +∞+\infty si, pour tout réel M>0M > 0, on a f(x)>Mf(x) > M pour xx assez grand. On note alors :
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
Limites en un réel aa et asymptotes verticales
DéfinitionLimite infinie en un point
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II dont aa est une borne. On dit que la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers aa est égale à +∞+\infty si f(x)f(x) devient aussi grand que l'on veut lorsque xx est suffisamment proche de aa. On note :
lim⁡x→af(x)=+∞\lim_{x \to a} f(x) = +\infty
Géométriquement, la droite d'équation x=ax = a est une asymptote verticale à la courbe Cf\mathcal{C}_f.
Opérations sur les limites

Les règles opératoires pour les limites de sommes, produits et quotients de fonctions sont similaires à celles des suites. Cependant, certaines situations conduisent à des Formes Indéterminées (F.I.) où l'on ne peut pas conclure directement :

« ∞−∞ », « 0×∞ », « 00 »  et  « ∞∞ »\text{« } \infty - \infty \text{ », « } 0 \times \infty \text{ », « } \frac{0}{0} \text{ » \ et \ « } \frac{\infty}{\infty} \text{ »}

Composition et comparaison de limites
◆ThéorèmeLimite d'une fonction composée
Soient deux fonctions uu et vv. Si :
lim⁡x→au(x)=betlim⁡y→bv(y)=c\lim_{x \to a} u(x) = b \quad \text{et} \quad \lim_{y \to b} v(y) = c
(où aa, bb et cc peuvent être des réels ou ±∞\pm\infty), alors :
lim⁡x→av(u(x))=c\lim_{x \to a} v(u(x)) = c
◆ThéorèmeThéorème des Gendarmes
Soient ff, gg et hh trois fonctions définies sur un intervalle contenant aa (sauf éventuellement en aa). Supposons que pour tout x≠ax \ne a dans cet intervalle :
g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)
Si lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L (où L∈RL \in \R), alors lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L.

Continuité

Définition et propriétés

La continuité traduit mathématiquement l'idée qu'on peut tracer la courbe représentative d'une fonction « sans lever le crayon ».

DéfinitionContinuité en un point
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et a∈Ia \in I. On dit que ff est continue en aa si :
lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
On dit que ff est continue sur l'intervalle II si ff est continue en tout réel de II.

Propriété : Continuité des fonctions de référence

Les fonctions affines, puissances, polynômes, rationnelles, trigonométriques (sin⁡\sin, cos⁡\cos), la fonction exponentielle et la fonction racine carrée sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le TVI est l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle. Il affirme qu'une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

◆ThéorèmeThéorème des Valeurs Intermédiaires
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a,b][a, b]. Pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel c∈[a,b]c \in [a, b] tel que :
f(c)=kf(c) = k

Dans la pratique, on utilise très souvent son corollaire qui assure l'unicité de la solution.

◆ThéorèmeCorollaire du TVI (Théorème de la bijection)
Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b][a, b]. Pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l'équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle [a,b][a, b].

Voici une illustration graphique du corollaire du TVI sur un intervalle [a,b][a,b] pour une fonction strictement croissante :

\begin{center}

Figure du cours
\end{center}

Fonctions Réciproques et Applications

Le corollaire du TVI (ou théorème de la bijection) montre qu'une fonction continue et strictement monotone réalise une correspondance univoque. Cela permet de définir sa fonction réciproque.

Théorème de la bijection et fonction réciproque
◆ThéorèmeThéorème de la bijection
Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II. Alors, ff réalise une bijection de l'intervalle II sur l'intervalle image J=f(I)J = f(I). Cela signifie que pour tout y∈Jy \in J, l'équation f(x)=yf(x) = y admet une unique solution x∈Ix \in I. On peut alors définir la fonction réciproque de ff, notée f−1f^{-1}, qui à tout y∈Jy \in J associe ce réel unique x∈Ix \in I :
x=f−1(y)  ⟺  y=f(x)x = f^{-1}(y) \iff y = f(x)

Propriété : Propriétés de la fonction réciproque

Soit ff une bijection continue d'un intervalle II sur J=f(I)J = f(I).
  • La fonction f−1f^{-1} est continue sur JJ.
  • La fonction f−1f^{-1} a le même sens de variation que ff sur JJ.
  • Pour tout x∈Ix \in I, (f−1∘f)(x)=x(f^{-1} \circ f)(x) = x, et pour tout y∈Jy \in J, (f∘f−1)(y)=y(f \circ f^{-1})(y) = y.
  • Les courbes représentatives Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la première bissectrice, c'est-à-dire la droite d'équation y=xy = x.

La fonction racine nn-ième
DéfinitionRacine nn-ième
Soit n∈N∗∖{1}n \in \N^* \setminus \{1\}. La fonction f:x↦xnf: x \mapsto x^n est continue et strictement croissante sur [0,+∞[[0, +\infty[. Elle réalise donc une bijection de [0,+∞[[0, +\infty[ sur [0,+∞[[0, +\infty[. Sa fonction réciproque est appelée la fonction racine nn-ième, notée x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x} ou x↦x1/nx \mapsto x^{1/n} :
y=xn  ⟺  yn=x(avec x≥0 et y≥0)y = \sqrt[n]{x} \iff y^n = x \quad (\text{avec } x \ge 0 \text{ et } y \ge 0)

Propriété : Propriétés de calcul

Pour tous réels positifs xx et yy, et tous entiers naturels non nuls pp et qq (supérieurs ou égaux à 2) :
  • xnn=x\sqrt[n]{x^n} = x et (xn)n=x(\sqrt[n]{x})^n = x.
  • xyn=xn×yn\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y}.
  • xyn=xnyn\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} (pour y>0y > 0).
  • xmn=(xn)m\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m.
  • xmn=xnm\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x}.

Propriété : Limites

La fonction racine nn-ième est strictement croissante et continue sur [0,+∞[[0, +\infty[. De plus :
lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty
La fonction Arctangente
DéfinitionFonction Arctangente
La fonction tangente x↦tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)x \mapsto \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} est continue et strictement croissante sur l'intervalle ouvert I=]−π2,π2[I = \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[. Elle réalise une bijection de ]−π2,π2[\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ sur J=RJ = \R. Sa fonction réciproque est appelée la fonction Arctangente, notée arctan⁡\arctan :
y=arctan⁡(x)  ⟺  x=tan⁡(y)(avec x∈R et y∈]−π2,π2[)y = \arctan(x) \iff x = \tan(y) \quad \left(\text{avec } x \in \R \text{ et } y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\right)

Propriété : Propriétés de la fonction Arctangente

  • La fonction arctan⁡\arctan est continue et strictement croissante sur R\R.
  • Elle est impaire : pour tout x∈Rx \in \R, arctan⁡(−x)=−arctan⁡(x)\arctan(-x) = -\arctan(x).
  • Limites aux bornes :
lim⁡x→+∞arctan⁡(x)=π2etlim⁡x→−∞arctan⁡(x)=−π2\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}
Les droites d'équation y=π2y = \frac{\pi}{2} et y=−π2y = -\frac{\pi}{2} sont des asymptotes horizontales à la courbe de arctan⁡\arctan en +∞+\infty et −∞-\infty.
  • Relations fondamentales :
Pour tout x∈R, tan⁡(arctan⁡(x))=x\text{Pour tout } x \in \R, \ \tan(\arctan(x)) = x
Pour tout x∈]−π2,π2[, arctan⁡(tan⁡(x))=x\text{Pour tout } x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, \ \arctan(\tan(x)) = x
  • Valeurs remarquables à connaître : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
xx0033\frac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}
arctan⁡(x)\arctan(x)00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}
\end{center}
  • Pour tout x>0x > 0, arctan⁡(x)+arctan⁡(1x)=π2\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}.

Méthodes Clés

MéthodeLever une indétermination en +∞+\infty
Pour lever une indétermination sur une fonction rationnelle ou polynomiale en +∞+\infty ou −∞-\infty, la méthode standard consiste à mettre en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
ExempleCalcul de limite
Calculons la limite suivante :
lim⁡x→+∞2x2−x+1x2+3\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 3}
C'est une forme indéterminée du type « ∞∞\frac{\infty}{\infty} ». Déterminons sa limite en factorisant :
2x2−x+1x2+3=x2(2−1x+1x2)x2(1+3x2)=2−1x+1x21+3x2\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 3} = \frac{x^2 \left(2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2 \left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = \frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}
Comme lim⁡x→+∞1x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 et lim⁡x→+∞1x2=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0, on obtient par quotient :
lim⁡x→+∞2x2−x+1x2+3=21=2\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 3} = \frac{2}{1} = 2

Approximation par Dichotomie

La méthode de dichotomie (ou de bissection) est une méthode d'analyse numérique permettant de déterminer des valeurs approchées de l'unique solution α\alpha d'une équation du type f(x)=kf(x) = k sur un intervalle [a,b][a, b], où ff est une fonction continue et strictement monotone.

Elle repose directement sur le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

DéfinitionPrincipe de la dichotomie
Soit ff une fonction continue et strictement croissante sur [a,b][a, b] telle que f(a)<k<f(b)f(a) < k < f(b). L'équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution α∈]a,b[\alpha \in ]a, b[. Pour approcher α\alpha avec une précision ϵ>0\epsilon > 0 donnée :
  • On calcule le milieu de l'intervalle m=a+b2m = \frac{a+b}{2}.
  • On évalue f(m)f(m) :
  • Si f(m)<kf(m) < k, alors α∈]m,b[\alpha \in ]m, b[. Le nouvel intervalle d'étude devient [m,b][m, b].
  • Si f(m)>kf(m) > k, alors α∈]a,m[\alpha \in ]a, m[. Le nouvel intervalle d'étude devient [a,m][a, m].
  • On répète l'opération sur le nouvel intervalle jusqu'à ce que la largeur de l'intervalle soit inférieure ou égale à ϵ\epsilon (soit b−a≤ϵb - a \le \epsilon).

ExempleCalcul manuel par dichotomie
Soit la fonction f(x)=x3+x−3f(x) = x^3 + x - 3 sur [1,2][1, 2]. Elle est continue et strictement croissante. On cherche à encadrer la solution α\alpha de f(x)=0f(x) = 0 à la précision ϵ=0,25\epsilon = 0,25.
  • Étape 0 : L'intervalle initial est [1,2][1, 2] de longueur 1>0,251 > 0,25. On a f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 et f(2)=7>0f(2) = 7 > 0.
  • Étape 1 : Le milieu de [1,2][1, 2] est m1=1,5m_1 = 1,5.
f(1,5)=(1,5)3+1,5−3=3,375+1,5−3=1,875>0f(1,5) = (1,5)^3 + 1,5 - 3 = 3,375 + 1,5 - 3 = 1,875 > 0
Puisque f(1)<0f(1) < 0 et f(1,5)>0f(1,5) > 0, la solution α\alpha appartient à [1 ;1,5][1 \,; 1,5]. La longueur du nouvel intervalle est 1,5−1=0,5>0,251,5 - 1 = 0,5 > 0,25.
  • Étape 2 : Le milieu de [1 ;1,5][1 \,; 1,5] est m2=1,25m_2 = 1,25.
f(1,25)=(1,25)3+1,25−3=1,953125+1,25−3=0,203125>0f(1,25) = (1,25)^3 + 1,25 - 3 = 1,953125 + 1,25 - 3 = 0,203125 > 0
Puisque f(1)<0f(1) < 0 et f(1,25)>0f(1,25) > 0, la solution α\alpha appartient à [1 ;1,25][1 \,; 1,25]. La longueur de ce nouvel intervalle est 1,25−1=0,25≤ϵ1,25 - 1 = 0,25 \le \epsilon.

On s'arrête ici. L'encadrement cherché est donc :

1≤α≤1,251 \le \alpha \le 1,25