Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre approfondit l'étude locale et globale des fonctions d'une variable réelle. Nous allons compléter l'étude de la dérivation (fonction composée, réciproque), introduire les théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle (Rolle, Accroissements Finis) et détailler la caractérisation géométrique des courbes (branches infinies, concavité).

Compléments sur la Dérivation

Dérivée d'une fonction composée

◆ThéorèmeDérivée de

v \circ u

Soit

u

une fonction dérivable sur un intervalle

I

à valeurs dans un intervalle

J

, et

v

une fonction dérivable sur

J

. La fonction composée

f = v \circ u

définie sur

I

par

f(x) = v(u(x))

est dérivable sur

I

, et pour tout

x \in I

f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)

De ce théorème général découlent plusieurs formules clés à connaître sur le bout des doigts :

Propriété : Cas particuliers usuels

Soit

u

une fonction dérivable sur un intervalle

I

Puissance : La fonction $u^n$ ( $n \in \N^*$ ) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

(u^n)' = n u^{n-1} u'

Racine : Si pour tout $x \in I$ , $u(x) > 0$ , la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

Exponentielle : La fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

(e^u)' = u' e^u

Dérivée seconde

DéfinitionDérivées successives

Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

. Si la fonction dérivée

f'

est elle-même dérivable sur

I

, sa dérivée, notée

f''

, est appelée la dérivée seconde de

f

Dérivabilité de la fonction réciproque

◆ThéorèmeDérivabilité de

f^{-1}

Soit

f

une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

I

. Soit

J = f(I)

l'intervalle image. Si

f

est dérivable en un point

x_0 \in I

et si

f'(x_0) \ne 0

, alors sa fonction réciproque

f^{-1}

est dérivable en

y_0 = f(x_0) \in J

, et :

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}

f

est dérivable sur

I

et si sa dérivée

f'

ne s'annule pas sur

I

, alors

f^{-1}

est dérivable sur

J

, et pour tout

y \in J

(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

Propriété : Dérivées de la racine $n$ -ième et de l'arctangente

La fonction racine $n$ -ième ( $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ ) est dérivable sur $]0, +\infty[$ et :

(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}

Note : elle n'est pas dérivable à droite en 0, sa courbe admet une demi-tangente verticale à l'origine.

La fonction Arctangente ( $x \mapsto \arctan(x)$ ) est dérivable sur $\R$ et :

(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}

Théorèmes Fondamentaux (Rolle et Accroissements Finis)

Ces deux théorèmes fournissent des liens puissants entre le comportement d'une fonction et les valeurs de sa dérivée.

Théorème de Rolle

◆ThéorèmeThéorème de Rolle

Soit

f

une fonction réelle continue sur

[a, b]

et dérivable sur

]a, b[

. Si

f(a) = f(b)

, alors il existe au moins un réel

c \in ]a, b[

tel que :

f'(c) = 0

Géométriquement, cela signifie que si les extrémités d'une courbe continue et lisse ont la même ordonnée, alors il existe au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale.

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

◆ThéorèmeThéorème des Accroissements Finis

Soit

f

une fonction réelle continue sur

[a, b]

et dérivable sur

]a, b[

. Alors il existe au moins un réel

c \in ]a, b[

tel que :

f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

Géométriquement, cela signifie qu'il existe un point $c \in ]a,b[$ où la tangente à la courbe est parallèle à la sécante reliant les points de coordonnées $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ .

◆ThéorèmeInégalité des Accroissements Finis (IAF)

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

et dérivable sur l'intérieur de

I

. S'il existe deux réels

m

M

tels que pour tout

x

intérieur à

I

m \le f'(x) \le M

, alors pour tous réels

a

b

I

avec

a \le b

m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a)

En particulier, s'il existe une constante

k \ge 0

telle que pour tout

x \in I

|f'(x)| \le k

, alors :

|f(b) - f(a)| \le k |b-a|

Branches Infinies et Étude des Fonctions

L'étude des branches infinies permet de décrire le comportement asymptotique des courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ de fonctions au voisinage de $\pm\infty$ ou de points de discontinuité.

Asymptotes

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$ .
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ ( $L \in \R$ ), la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$ .
Asymptote oblique : Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ ( $a \ne 0$ ), la droite d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$ .

Branches paraboliques

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

, on étudie la limite du rapport

\frac{f(x)}{x}

Direction l'axe $(Oy)$ : Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$ .
Direction l'axe $(Ox)$ : Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(Ox)$ .
Direction la droite $y = ax$ : Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \ne 0$ , on étudie alors la limite de la différence $f(x) - ax$ :

Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = \pm\infty$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$ .
Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b$ , alors la droite d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique.

Concavité d'une courbe et Points d'Inflexion

L'étude de la concavité permet de déterminer la direction de la courbure de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction et d'identifier les points de transition appelés points d'inflexion.

Concavité d'une courbe

DéfinitionCourbe convexe et courbe concave

Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

\mathcal{C}_f

sa courbe représentative.

On dit que la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $I$ si elle est située entièrement au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ .
On dit que la courbe $\mathcal{C}_f$ est concave sur $I$ si elle est située entièrement au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$ .

Caractérisation par la dérivée seconde

◆ThéorèmeCaractérisation de la concavité

Soit

f

une fonction deux fois dérivable sur un intervalle

I

La courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$ , $f''(x) \ge 0$ .
La courbe $\mathcal{C}_f$ est concave sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$ , $f''(x) \le 0$ .

Point d'inflexion

DéfinitionPoint d'inflexion

Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

. Un point

A(a, f(a))

est appelé un point d'inflexion de la courbe

\mathcal{C}_f

si la courbe change de concavité en

a

. Géométriquement, la courbe traverse sa tangente au point

A

◆ThéorèmeCaractérisation analytique du point d'inflexion

Soit

f

une fonction deux fois dérivable sur un intervalle

I

. Le point

A(a, f(a))

est un point d'inflexion de

\mathcal{C}_f

si et seulement si la dérivée seconde

f''

s'annule en changeant de signe en

a

Voici une illustration avec la courbe de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ qui change de concavité au point d'inflexion $I(1,0)$ :

\begin{center}

\end{center}

Méthodes Clés

MéthodeÉtudier la concavité et les points d'inflexion

Pour déterminer la concavité de la courbe

\mathcal{C}_f

et ses éventuels points d'inflexion :

On calcule la dérivée première $f'(x)$ .
On calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
On étudie le signe de $f''(x)$ sur l'ensemble de définition :

Sur les intervalles où $f''(x) \ge 0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe (courbée vers le haut).
Sur les intervalles où $f''(x) \le 0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ est concave (courbée vers le bas).
Les points où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe sont des points d'inflexion.

ExempleÉtude de la concavité

Soit la fonction

f

définie sur

\R

par

f(x) = (x^2-2x)e^x

. Calculons les dérivées successives :

f'(x) = (2x-2)e^x + (x^2-2x)e^x = (x^2-2)e^x

Puis la dérivée seconde :

f''(x) = (2x)e^x + (x^2-2)e^x = (x^2+2x-2)e^x

Comme

e^x > 0

, le signe de

f''(x)

est celui du polynôme

x^2+2x-2

. Le discriminant est

\Delta = 12 > 0

. Les racines sont :

x_1 = -1-\sqrt{3} \approx -2,73 \quad \text{et} \quad x_2 = -1+\sqrt{3} \approx 0,73

Ainsi :

la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $]-\infty, -1-\sqrt{3}]$ et sur $[-1+\sqrt{3}, +\infty[$ .
la courbe $\mathcal{C}_f$ est concave sur $[-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}]$ .
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux points d'inflexion aux abscisses $x_1$ et $x_2$ .

Compléments sur la Dérivation

Dérivée d'une fonction composée

Propriété : Cas particuliers usuels

Dérivée seconde

Dérivabilité de la fonction réciproque

Propriété : Dérivées de la racine nnn-ième et de l'arctangente

Théorèmes Fondamentaux (Rolle et Accroissements Finis)

Théorème de Rolle

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Branches Infinies et Étude des Fonctions

Asymptotes

Branches paraboliques

Concavité d'une courbe et Points d'Inflexion

Concavité d'une courbe

Caractérisation par la dérivée seconde

Point d'inflexion

Méthodes Clés

Propriété : Dérivées de la racine $n$ -ième et de l'arctangente