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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre traite du dénombrement, c'est-à-dire de l'art de compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini sans pour autant les énumérer tous. Les outils développés ici (permutations, arrangements, combinaisons) sont fondamentaux pour le calcul des probabilités.

Principes Fondamentaux du Dénombrement

Soit EE un ensemble fini. On note Card(E)\text{Card}(E) (ou #E\#E) le cardinal de EE, c'est-à-dire le nombre d'éléments de EE.

Principe additif

Le principe additif concerne la réunion d'ensembles disjoints.

◆ThéorèmePrincipe additif
Si AA et BB sont deux sous-ensembles d'un ensemble EE, disjoints (A∩B=∅A \cap B = \emptyset), alors :
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B)
De façon générale, si AA et BB sont quelconques :
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B)
Principe multiplicatif

Le principe multiplicatif s'applique lorsqu'on réalise une succession de choix indépendants.

◆ThéorèmePrincipe multiplicatif
Soit un ensemble de choix successifs où le premier choix offre n1n_1 possibilités, le deuxième n2n_2 possibilités, ..., et le kk-ième choix offre nkn_k possibilités. Le nombre total de configurations possibles est :
N=n1×n2×⋯×nkN = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k
Définitionpp-uplet ou liste
Soit EE un ensemble à nn éléments. Un pp-uplet (ou liste de longueur pp) d'éléments de EE est une suite ordonnée de pp éléments de EE. Le nombre de pp-uplets d'un ensemble à nn éléments est :
npn^p

Arrangements et Permutations

Arrangements

Un arrangement est un choix ordonné d'éléments distincts.

DéfinitionArrangement
Soit EE un ensemble à nn éléments. Un arrangement de pp éléments de EE (0≤p≤n0 \le p \le n) est un pp-uplet d'éléments distincts de EE. Le nombre d'arrangements de pp éléments parmi nn est noté AnpA_n^p et vaut :
Anp=n×(n−1)×⋯×(n−p+1)=n!(n−p)!A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}
Permutations
DéfinitionPermutation et factorielle
Soit EE un ensemble à nn éléments. Une permutation de EE est un arrangement de nn éléments de EE (c'est-à-dire un ordre sur tous les éléments de EE). Le nombre de permutations d'un ensemble à nn éléments est noté n!n! (lire « factorielle nn ») et vaut :
n!=n×(n−1)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1
Par convention, 0!=10! = 1.

Combinaisons

Contrairement aux arrangements, l'ordre n'importe pas dans une combinaison (comme pour une main de cartes).

Définition
DéfinitionCombinaison
Soit EE un ensemble à nn éléments. Une combinaison de pp éléments de EE (0≤p≤n0 \le p \le n) est un sous-ensemble de EE contenant pp éléments (sans ordre, sans répétition). Le nombre de combinaisons de pp éléments parmi nn est noté Cnp\binom{n}{p} (lire « pp parmi nn ») et vaut :
Cnp=Anpp!=n!p!(n−p)!\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}
Propriétés des coefficients binomiaux

Propriété : Relations de symétrie et Pascal

Pour tous entiers nn et pp tels que 0≤p≤n0 \le p \le n :
  • Symétrie : Cnp=Cnn−p\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}
  • Cas particuliers : Cn0=1\binom{n}{0} = 1, Cn1=n\binom{n}{1} = n, Cnn=1\binom{n}{n} = 1
  • Formule de Pascal (pour 0≤p≤n−10 \le p \le n-1) :
Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}

Le Triangle de Pascal

La formule de Pascal permet de calculer de proche en proche les coefficients binomiaux sous forme triangulaire :

\begin{center}

Figure du cours
\end{center}

Méthodes Clés

MéthodeChoisir le bon outil de dénombrement
Pour savoir quelle formule utiliser pour dénombrer les tirages ou configurations :
  • L'ordre compte-t-il ?
  • Non : Il s'agit de combinaisons   ⟹  Cnp\implies \binom{n}{p}.
  • Oui : Passer à la question 2.
  • Y a-t-il des répétitions ?
  • Oui : Il s'agit de pp-uplets (listes)   ⟹  np\implies n^p.
  • Non : Il s'agit d'un arrangement (AnpA_n^p) ou d'une permutation (n!n! si p=np=n).

ExempleApplication des méthodes
Un digicode est composé d'une lettre parmi A, B, C suivie de 4 chiffres distincts ou non.
  • Le choix de la lettre : 3 possibilités.
  • Le choix des 4 chiffres : C'est une liste ordonnée avec répétitions possibles de 4 chiffres parmi les 10 chiffres (0 à 9). Le nombre de choix est donc 104=10 00010^4 = 10\,000.
  • Par le principe multiplicatif, le nombre total de codes est : 3×104=30 0003 \times 10^4 = 30\,000.