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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce premier chapitre pose les bases de l'analyse en Terminale. Nous allons étudier un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, puis nous l'appliquerons à l'étude des limites de suites et de leur convergence.

Le Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n)P(n), dépendant d'un entier naturel nn, est vraie pour tout entier n≥n0n \ge n_0.

DéfinitionPrincipe de récurrence
Soit n0∈Nn_0 \in \N et P(n)P(n) une propriété définie pour tout entier n≥n0n \ge n_0. Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
  • Initialisation : La propriété est vraie au rang initial n0n_0, c'est-à-dire que P(n0)P(n_0) est vraie.
  • Hérédité : Pour tout entier k≥n0k \ge n_0, si la propriété est vraie à un rang kk (hypothèse de récurrence), alors elle est vraie au rang suivant k+1k+1.

Alors, la propriété P(n)P(n) est vraie pour tout entier n≥n0n \ge n_0.

MéthodeRédiger une récurrence
Pour rédiger une démonstration par récurrence, on suit rigoureusement trois étapes :
  • Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le premier rang n=n0n = n_0.
  • Hérédité : On pose l'hypothèse de récurrence : « Supposons que pour un entier k≥n0k \ge n_0, la propriété P(k)P(k) soit vraie. » On cherche ensuite à prouver sous cette hypothèse que la propriété P(k+1)P(k+1) est vraie.
  • Conclusion : On conclut : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout n≥n0n \ge n_0. »

ExempleSomme des premiers entiers
Montrons par récurrence que pour tout n≥1n \ge 1 :
Sn=∑i=1ni=1+2+⋯+n=n(n+1)2S_n = \sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
Initialisation : Pour n=1n = 1, S1=1S_1 = 1 et 1(1+1)2=1\frac{1(1+1)}{2} = 1. L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier k≥1k \ge 1 : Sk=k(k+1)2S_k = \frac{k(k+1)}{2}. Montrons qu'elle est vraie pour k+1k+1 :

Sk+1=Sk+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k2+1)=(k+1)(k+2)2S_{k+1} = S_k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)\left( \frac{k}{2} + 1 \right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
L'hérédité est prouvée.

Conclusion : Pour tout n≥1n \ge 1, ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.

Limites de Suites

Limite infinie
DéfinitionLimite +∞+\infty et −∞-\infty
  • On dit qu'une suite (un)(u_n) a pour limite +∞+\infty si tout intervalle de la forme ]A,+∞[]A, +\infty[ (où A∈RA \in \R) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty
  • De même, on dit qu'une suite (un)(u_n) a pour limite −∞-\infty si tout intervalle de la forme ]−∞,B[]-\infty, B[ (où B∈RB \in \R) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Limite finie et convergence
DéfinitionSuite convergente
On dit qu'une suite (un)(u_n) a pour limite le réel LL si tout intervalle ouvert contenant LL contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite (un)(u_n) est convergente vers LL et on note :
lim⁡n→+∞un=L\lim_{n \to +\infty} u_n = L
Une suite qui ne converge pas vers une limite finie est dite divergente.

Propriété : Limites des suites géométriques

Soit qq un nombre réel et la suite géométrique un=qnu_n = q^n.
  • Si q>1q > 1, alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty.
  • Si −1<q<1-1 < q < 1, alors la suite (qn)(q^n) converge vers 00.
  • Si q=1q = 1, la suite est constante et converge vers 11.
  • Si q≤−1q \le -1, la suite (qn)(q^n) n'admet pas de limite.

Théorèmes de Convergence

Théorèmes de comparaison
◆ThéorèmeThéorème des Gendarmes
Soit (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) trois suites. Supposons qu'à partir d'un certain rang :
un≤vn≤wnu_n \le v_n \le w_n
Si lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞wn=L\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = L (avec L∈RL \in \R), alors la suite (vn)(v_n) converge et sa limite est LL.
◆ThéorèmeThéorèmes de comparaison pour l'infini
Soit (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites. Supposons qu'à partir d'un certain rang un≤vnu_n \le v_n.
  • Si lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty, alors lim⁡n→+∞vn=+∞\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty.
  • Si lim⁡n→+∞vn=−∞\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty, alors lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty.

Convergence des suites monotones
DéfinitionSuite majorée, minorée, bornée
  • Une suite (un)(u_n) est majorée s'il existe un réel MM tel que pour tout n∈Nn \in \N, un≤Mu_n \le M.
  • Une suite (un)(u_n) est minorée s'il existe un réel mm tel que pour tout n∈Nn \in \N, un≥mu_n \ge m.
  • Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

◆ThéorèmeThéorème de convergence monotone
  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.

ExempleSuite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)
Soit la suite définie par u0=0u_0 = 0 et pour tout n∈Nn \in \N, un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}. La fonction associée est f(x)=x+2f(x) = \sqrt{x+2}. On peut étudier graphiquement la convergence de cette suite grâce à la méthode de la toile d'araignée (cobweb plot).

\begin{center}

Figure du cours
\end{center} Cette suite est croissante, majorée par 2, et converge vers son point fixe unique α=2\alpha = 2 sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Suites de la forme un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

L'étude des suites définies par une relation de récurrence du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) est une thématique incontournable de l'analyse en classe de Terminale. Le théorème suivant permet de déterminer la limite éventuelle d'une telle suite sous des conditions bien précises.

◆ThéorèmeLimite d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)
Soit ff une fonction numérique définie sur un intervalle II et (un)(u_n) la suite définie par u0∈Iu_0 \in I et pour tout n∈Nn \in \N :
un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)
Si les conditions suivantes sont satisfaites :
  • ff est continue sur l'intervalle II,
  • f(I)⊂If(I) \subset I (l'intervalle II est stable par ff),
  • La suite (un)(u_n) est convergente de limite ll,
  • u0∈Iu_0 \in I,

Alors la limite ll de la suite est solution de l'équation :

f(l)=lf(l) = l
Autrement dit, ll est un point fixe de la fonction ff dans l'intervalle II.

MéthodeÉtudier la convergence et la limite de un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)
Pour étudier analytiquement une suite de la forme un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et déterminer sa limite :
  • Vérifier la stabilité : Montrer que f(I)⊂If(I) \subset I (souvent par l'étude des variations de ff sur II).
  • Montrer que un∈Iu_n \in I pour tout nn : Utiliser un raisonnement par récurrence.
  • Déterminer le sens de variation de la suite :
  • Étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n.
  • Ou étudier le signe de f(x)−xf(x) - x sur II. Si f(x)−x≥0f(x) - x \ge 0 sur II, la suite est croissante. Si f(x)−x≤0f(x) - x \le 0 sur II, la suite est décroissante.
  • Établir la convergence : Conclure à la convergence de la suite en montrant qu'elle est croissante et majorée, ou décroissante et minorée.
  • Résoudre f(l)=lf(l) = l : Citer les conditions du théorème de convergence pour affirmer que la limite ll satisfait f(l)=lf(l) = l, puis résoudre cette équation pour trouver ll.