Raisonnement par récurrence et suites

Exercice 1 : Somme des termes d'une suite géométrique

Solution : Soit $P(n)$ la propriété : $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Initialisation : Pour $n = 0$, le membre de gauche vaut $q^0 = 1$. Le membre de droite vaut $\frac{1-q^{0+1}}{1-q} = \frac{1-q}{1-q} = 1$. La propriété $P(0)$ est donc vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété $P(m)$ vraie pour un certain entier $m \ge 0$, c'est-à-dire $\sum_{k=0}^m q^k = \frac{1-q^{m+1}}{1-q}$. Montrons que $P(m+1)$ est vraie, soit $\sum_{k=0}^{m+1} q^k = \frac{1-q^{m+2}}{1-q}$. En utilisant l'hypothèse de récurrence :

La propriété est donc héréditaire.

• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc pour tout $n \ge 0$, $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exercice 2 : Inégalité classique par récurrence

Solution : Soit $P(n)$ la propriété : $2^n \ge n + 1$.

• Initialisation : Pour $n = 1$, $2^1 = 2$ et $1 + 1 = 2$. Comme $2 \ge 2$, $P(1)$ est vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain entier $k \ge 1$, soit $2^k \ge k+1$. Montrons que $2^{k+1} \ge k+2$. En multipliant l'hypothèse de récurrence par 2 (qui est positif) :

Or, pour tout $k \ge 1$, on a $k \ge 0 \implies 2k + 2 = k + k + 2 \ge k + 2$. On en déduit par transitivité : $2^{k+1} \ge k+2$. L'hérédité est établie.

• Conclusion : Par récurrence, pour tout entier $n \ge 1$, $2^n \ge n+1$.

Exercice 3 : Divisibilité et récurrence

Solution : Soit $P(n)$ la propriété : « $4^n + 2$ est un multiple de 3 », c'est-à-dire qu'il existe un entier $a_n \in \Z$ tel que $4^n + 2 = 3 a_n$.

• Initialisation : Pour $n=0$, $4^0 + 2 = 1 + 2 = 3 = 3 \times 1$. $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : Supposons que pour un certain entier $k \ge 0$, $4^k + 2 = 3 a_k$ avec $a_k \in \Z$, ce qui donne $4^k = 3 a_k - 2$. Montrons que $4^{k+1} + 2$ est un multiple de 3 :

Comme $a_k$ est un entier, $4a_k - 2$ est également un entier. Donc $4^{k+1} + 2$ est bien un multiple de 3. L'hérédité est prouvée.

• Conclusion : Pour tout entier naturel $n \ge 0$, $4^n + 2$ est un multiple de 3.

Exercice 4 : Calcul de limite d'une suite rationnelle

Solution : C'est une forme indéterminée du type « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Mettons en facteur le terme de plus haut degré $n^2$ au numérateur et au dénominateur :

Puisque $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, on en déduit par somme et quotient de limites :

Exercice 5 : Théorème des Gendarmes

Solution : Pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le \sin(n) \le 1$ et $-1 \le (-1)^n \le 1$, ce qui implique :

Puisque $n^2 + 1 > 0$, en divisant chaque membre par $n^2+1$, on obtient : Or, $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n^2 + 1} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 + 1} = 0$. D'après le théorème des Gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et :

Exercice 6 : Convergence de suites géométriques

Solution : La suite $(u_n)$ est construite à partir de la suite géométrique de terme général $q^n$ avec $q = 0,9$. Comme $-1 < 0,9 < 1$, on sait d'après le cours que :

Par produit et somme de limites : La suite $(u_n)$ est donc convergente vers $-3$.

Exercice 7 : Majoration par récurrence

Solution : Soit $P(n)$ la propriété : $u_n < 6$.

• Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 1$. Comme $1 < 6$, $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $k \ge 0$, c'est-à-dire $u_k < 6$. Montrons que $u_{k+1} < 6$. En utilisant la définition de la suite :

La propriété est donc héritée au rang $k+1$.

• Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in \N$, $u_n < 6$.

Exercice 8 : Limite avec expressions conjuguées

Solution : C'est une forme indéterminée de la forme « $\infty - \infty$ ». Utilisons l'expression conjuguée :

Comme $n > 0$, $\sqrt{n^2} = n$, donc : Puisque $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$, on a par limite de somme et de quotient :

Exercice 9 : Limite de somme par encadrement

Solution : La somme comporte $n$ termes. Encadrons chaque terme de la somme : Pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, on a :

En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$, on obtient : Or : et $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2(1+1/n^2)} = 0$. Par le théorème des Gendarmes, on conclut que :

Exercice 10 : Recherche analytique de seuil

Solution : On cherche à résoudre l'inéquation $n^2 - 100n > 10\,000 \iff n^2 - 100n - 10\,000 > 0$. C'est un trinôme du second degré de variable $n$. Calculons le discriminant :

Les racines réelles sont : Comme $n$ est positif et le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines (car $a=1>0$), on doit avoir : Comme $n$ doit être un entier naturel, le plus petit entier satisfaisant cette condition est :