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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre consolide l'étude de la fonction exponentielle et introduit les limites de croissances comparées associées, qui constituent des outils fondamentaux pour l'étude globale des fonctions et de leurs asymptotes.

Compléments sur la Fonction Exponentielle

Rappels et propriétés analytiques

La fonction exponentielle, notée exp⁡\exp ou x↦exx \mapsto e^x, est l'unique fonction dérivable sur R\R égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 (f′=ff' = f et f(0)=1f(0)=1).

Propriété : Propriétés fondamentales

  • Pour tout réel xx, ex>0e^x > 0.
  • La fonction x↦exx \mapsto e^x est strictement croissante et continue sur R\R.
  • Les limites aux bornes sont :
lim⁡x→−∞ex=0etlim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty
Ainsi, la droite d'équation y=0y=0 est une asymptote horizontale à la courbe en −∞-\infty.

Croissances comparées

À l'infini, la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction puissance.

◆ThéorèmeCroissances comparées pour exp⁡\exp
Pour tout entier naturel n≥1n \ge 1 :
lim⁡x→+∞exxn=+∞etlim⁡x→−∞xnex=0\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0