Fonction exponentielle

Exercice 1 : Équation exponentielle simple

Solution : Puisque $2 > 0$ et la fonction $\ln$ est la bijection réciproque de la fonction exponentielle :

L'unique solution est :

Exercice 2 : Équation du second degré en $e^x$

Solution : En remarquant que $e^{2x} = (e^x)^2$, posons le changement de variable $X = e^x$. L'équation devient :

C'est une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0$. Les solutions pour $X$ sont : Revenons à la variable $x$ sachant que $X = e^x$ :

• $e^x = 1 \iff x = \ln(1) = 0$
• $e^x = 3 \iff x = \ln(3)$ L'ensemble des solutions de l'équation est :

Exercice 3 : Limite par croissance comparée

Solution : C'est une forme indéterminée du type « $\frac{\infty}{\infty}$ ». D'après le cours, le théorème des croissances comparées stipule que pour tout entier $n \ge 1$ :

En choisissant $n = 3$, on obtient directement :

Exercice 4 : Limite en $-\infty$ par croissance comparée

Solution : C'est une forme indéterminée du type « $+\infty \times 0$ ». D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier $n \ge 1$ :

En posant $n = 2$, on obtient directement :

Exercice 5 : Dérivation d'une exponentielle composée

Solution : La fonction $f$ est de la forme $e^u$ avec $u(x) = -x^2 + x$. La fonction $u$ est polynomiale donc dérivable sur $\R$ avec $u'(x) = -2x + 1$. D'après la formule $(e^u)' = u' e^u$, on obtient :

Exercice 6 : Propriété de positivité

Solution : On cherche à prouver que pour tout réel $x$ : $-1 < f(x) < 1$.

• Montrons que $f(x) < 1$ :

Comme $e^x > 0 \implies e^x + 1 > 1 > 0$, le dénominateur est strictement positif. Le numérateur étant négatif, la différence est strictement négative, d'où $f(x) < 1$.

• Montrons que $f(x) > -1$ :

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, d'où la différence est strictement positive, ce qui implique $f(x) > -1$. La fonction $f$ est donc bien bornée entre $-1$ et $1$.

Exercice 7 : Limite en $-\infty$ sans indétermination

Solution : On sait que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Par limite de somme, le dénominateur tend vers $3 + 0 = 3$. Par limite de quotient :

Applications et Modélisation

Problème 1 : Modélisation de la croissance d'une population de bactéries

Solution :

• Avec $N_0 = 1$, la population (en milliers) est modélisée par : $N(t) = e^{kt}$.

• On sait que $N(2) = 2 \iff e^{2k} = 2$. En appliquant la fonction logarithme :

• L'expression générale de la population est : $N(t) = e^{\frac{\ln(2)}{2} t}$. Au bout de 5 heures ($t = 5$) :

La population de bactéries après 5 heures est d'environ 5657 bactéries.

• On cherche à résoudre $N(t) > 100 \iff e^{\frac{\ln(2)}{2} t} > 100$. En appliquant le logarithme :

Calculons la valeur approchée : Exprimons la fraction en minutes : $0,29 \text{ h} \times 60 \text{ min/h} \approx 17 \text{ minutes}$. La population de bactéries dépassera $100\,000$ après environ 13 heures et 17 minutes.

Problème 2 : Charge d'un condensateur dans un circuit RC

Solution :

• L'équation s'écrit $R C u_c'(t) + u_c(t) = E$. En divisant par $RC$ (qui est strictement positif) :

C'est de la forme $y' = ay+b$ avec $a = -\frac{1}{R C}$ et $b = \frac{E}{R C}$.

• La solution générale de cette équation est :

Utilisons la condition initiale $u_c(0) = 0$ : La tension aux bornes du condensateur au cours du temps est donc :

• En posant $\tau = R C$ :

• Puisque $\tau > 0$, $\lim_{t \to +\infty} -\frac{t}{\tau} = -\infty \implies \lim_{t \to +\infty} e^{-\frac{t}{\tau}} = 0$. Par suite, $\lim_{t \to +\infty} u_c(t) = E$. En régime permanent (lorsque le temps devient très grand), le condensateur est complètement chargé et sa tension atteint la tension du générateur $E$.

• Pour $t = \tau$ :

Puisque $e \approx 2,718$, $1 - e^{-1} \approx 1 - 0,368 = 0,632$, soit environ $63\%$ de la tension maximale $E$ est atteinte au bout d'une constante de temps $\tau$.

Problème 3 : Température d'une tasse de café (Loi de Newton)

Solution :

• En développant l'expression de l'équation différentielle :

C'est de la forme $y' = ay+b$ avec $a = -0,05$ et $b = 1$.

• La solution générale de l'équation est :

Utilisons la condition initiale $f(0) = 80$ : L'expression de la température en fonction de $t$ est donc :

• Pour $t = 20$ minutes :

• On cherche à résoudre $f(t) < 30 \iff 60e^{-0,05t} + 20 < 30$.

En appliquant le logarithme (qui conserve le sens des inégalités car il est strictement croissant) : Calculons la valeur numérique : Puisque $0,84 \text{ min} \times 60 \text{ s/min} \approx 50 \text{ secondes}$, la température passera sous le seuil de $30^\circ$C après 35 minutes et 50 secondes.

Problème 4 : Équation logistique de Verhulst

Solution :

• Si $P(t_0) = 0$ pour un certain $t_0$, alors par unicité des solutions (problème de Cauchy), $P(t)$ serait identiquement nulle, ce qui contredit la condition initiale $P(0) = 2 > 0$. Ainsi, la population reste strictement positive pour tout $t \ge 0$. Dérivons la fonction $z(t) = \frac{1}{P(t)}$ :

La fonction $z$ est bien solution de l'équation linéaire $z' = -0,1z + 0,01$.

• L'équation différentielle $(E')$ est de la forme $z' = az+b$ avec $a = -0,1$ et $b = 0,01$. La solution générale de $(E')$ est :

La condition initiale est $z(0) = \frac{1}{P(0)} = \frac{1}{2} = 0,5$. L'unique solution de $(E')$ est donc :

• Par définition, $P(t) = \frac{1}{z(t)}$, d'où :

• Comme $\lim_{t \to +\infty} -0,1t = -\infty \implies \lim_{t \to +\infty} e^{-0,1t} = 0$. Par limite de quotient, on obtient :

La population limite de poissons dans le lac est de $10\,000$ poissons. La valeur $10$ (en milliers) correspond à la capacité de charge du lac, c'est-à-dire la population maximale que l'écosystème du lac peut supporter de manière durable.

Problème 5 : Équation différentielle avec second membre variable

Solution :

• Si $P(x) = ax^2 + bx + c$ est solution de $(E)$, elle vérifie $P'(x) - 2P(x) = 3x^2 - x$. Calculons $P'(x) = 2ax + b$. En remplaçant :

Par identification des coefficients de polynômes de même degré, on obtient le système : La fonction polynôme cherchée est donc :

• - Sens direct : Supposons $f$ solution de $(E)$, donc $f' - 2f = 3x^2 - x$. Comme $P$ est également solution de $(E)$, on a $P' - 2P = 3x^2 - x$. En soustrayant membre à membre :

La fonction $g = f-P$ est donc bien solution de $(E_0)$.

• Sens réciproque : Supposons $g = f-P$ solution de $(E_0)$, donc $g' - 2g = 0$. Comme $f = g + P$, calculons :

La fonction $f$ est donc bien solution de $(E)$.

• D'après le cours, les solutions de l'équation homogène $(E_0) : y' = 2y$ sont les fonctions de la forme $g(x) = C e^{2x}$ avec $C \in \R$. Puisque $f = g + P$, la solution générale de l'équation $(E)$ est :

• Déterminons la constante $C$ avec la condition initiale $f(0) = 1$ :

L'unique solution est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par :