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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre présente le calcul intégral, l'une des branches les plus fécondes de l'analyse. Nous allons définir les primitives d'une fonction, puis l'intégrale comme outil de calcul d'aires, de moyennes et de modélisation mathématique.

Primitives d'une Fonction

Définition et propriétés

Rechercher les primitives d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation.

DéfinitionPrimitive
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On appelle primitive de ff sur II toute fonction FF dérivable sur II telle que pour tout x∈Ix \in I :
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)
◆ThéorèmeExistence et ensemble des primitives
  • Toute fonction continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est une primitive de ff sur II, alors toute autre primitive GG de ff sur II est de la forme :
G(x)=F(x)+CG(x) = F(x) + C
où CC est une constante réelle.

Primitives des fonctions usuelles

Le tableau suivant rassemble les formules de primitives obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées :

\begin{table}[h!] \centering

Fonction f(x)f(x)Une primitive F(x)F(x)Intervalle II
kk (constante)kxkxR\R
xnx^n (n∈Nn \in \N)xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}R\R
1x2\frac{1}{x^2}−1x-\frac{1}{x}]−∞,0[]-\infty, 0[ ou ]0,+∞[]0, +\infty[
1x\frac{1}{\sqrt{x}}2x2\sqrt{x}]0,+∞[]0, +\infty[
exe^xexe^xR\R
1x\frac{1}{x}ln⁡(x)\ln(x)]0,+∞[]0, +\infty[
\caption{Primitives des fonctions usuelles} \end{table}

Primitives et composition

Pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, on repère des formes de dérivées de fonctions composées :

\begin{table}[h!] \centering

Forme de la fonctionUne primitiveCondition sur uu
u′unu' u^n (n∈N∗n \in \N^*)un+1n+1\frac{u^{n+1}}{n+1}dérivable
u′u2\frac{u'}{u^2}−1u-\frac{1}{u}u(x)≠0u(x) \ne 0
u′u\frac{u'}{\sqrt{u}}2u2\sqrt{u}u(x)>0u(x) > 0
u′euu' e^ueue^udérivable
u′u\frac{u'}{u}ln⁡(u)\ln(u)u(x)>0u(x) > 0
\caption{Primitives de fonctions composées} \end{table}

Le Calcul Intégral

Définition de l'intégrale
DéfinitionIntégrale
Soit ff une fonction continue sur [a,b][a, b] et FF une primitive de ff sur [a,b][a, b]. L'intégrale de ff de aa à bb est le nombre réel, noté ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) \dd x, défini par :
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) \dd x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
Interprétation géométrique (Aire)

Lorsque la fonction ff est continue et positive sur l'intervalle [a,b][a, b], l'intégrale ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) \dd x est égale à l'aire A\mathcal{A} de la région délimitée par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations x=ax=a et x=bx=b (exprimée en unités d'aire, u.a.).

\begin{center}

Figure du cours
\end{center}

Propriétés de l'intégrale

Pour toutes fonctions ff et gg continues sur [a,b][a, b] et tous réels α,β\alpha, \beta :

  • Linéarité : ∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \dd x = \alpha \int_a^b f(x) \dd x + \beta \int_a^b g(x) \dd x.
  • Relation de Chasles : Pour tout c∈[a,b]c \in [a, b], ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^b f(x) \dd x = \int_a^c f(x) \dd x + \int_c^b f(x) \dd x.
  • Positivité et Ordre : Si f(x)≥0f(x) \ge 0 sur [a,b][a,b], alors ∫abf(x)dx≥0\int_a^b f(x) \dd x \ge 0. Si f(x)≤g(x)f(x) \le g(x), alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^b f(x) \dd x \le \int_a^b g(x) \dd x.
Valeur moyenne d'une fonction
DéfinitionValeur moyenne
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a,b][a, b] (avec a<ba < b). La valeur moyenne μ\mu de ff sur [a,b][a, b] est le réel :
μ=1b−a∫abf(x)dx\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \dd x

L'Intégration par Parties (IPP)

Lorsque l'on cherche l'intégrale d'un produit de deux fonctions dont on ne repère pas de forme de composée immédiate, on utilise la méthode d'intégration par parties.

◆ThéorèmeIntégration par parties
Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur [a,b][a, b] dont les dérivées u′u' and v′v' sont continues sur [a,b][a, b]. On a :
∫abu′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x)dx\int_a^b u'(x) v(x) \dd x = \Big[ u(x) v(x) \Big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \dd x

Équations Différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

Équations différentielles du premier ordre : y′=ay+by' = ay + b
◆ThéorèmeSolutions de y′=ay+by' = ay + b
Soit aa et bb deux réels.
  • Si a=0a = 0, l'équation s'écrit y′=by' = b. Les solutions sont les fonctions de la forme :
y(x)=bx+C(ouˋ C∈R)y(x) = bx + C \quad (\text{où } C \in \R)
  • Si a≠0a \ne 0, les solutions de l'équation y′=ay+by' = ay + b sur R\R sont les fonctions de la forme :
y(x)=Ceax−ba(ouˋ C∈R)y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} \quad (\text{où } C \in \R)

Propriété : Solution unique vérifiant une condition initiale

Pour tous réels x0x_0 et y0y_0, il existe une unique solution ff de l'équation y′=ay+by' = ay + b vérifiant la condition initiale f(x0)=y0f(x_0) = y_0.
Équations différentielles du second ordre : y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

Considérons l'équation y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0 où aa et bb sont des réels. Pour la résoudre, on associe l'équation du second degré dans C\Cnum appelée équation caractéristique :

r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0
Soit Δ=a2−4b\Delta = a^2 - 4b son discriminant.

◆ThéorèmeSolutions de y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0
  • Si Δ>0\Delta > 0 : L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1r_1 et r2r_2. Les solutions de l'équation différentielle sur R\R sont les fonctions de la forme :
y(x)=αer1x+βer2x(ouˋ α,β∈R)y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad (\text{où } \alpha, \beta \in \R)
  • Si Δ=0\Delta = 0 : L'équation caractéristique admet une unique racine réelle double r0r_0. Les solutions de l'équation différentielle sur R\R sont les fonctions de la forme :
y(x)=(αx+β)er0x(ouˋ α,β∈R)y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x} \quad (\text{où } \alpha, \beta \in \R)
  • Si Δ<0\Delta < 0 : L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées p+iqp + \iud q et p−iqp - \iud q (avec q≠0q \ne 0). Les solutions de l'équation différentielle sur R\R sont les fonctions de la forme :
y(x)=epx(αcos⁡(qx)+βsin⁡(qx))(ouˋ α,β∈R)y(x) = e^{px} \Big( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \Big) \quad (\text{où } \alpha, \beta \in \R)

Méthodes Clés

MéthodeCalculer une intégrale par IPP
Pour appliquer l'intégration par parties pour calculer ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) \dd x :
  • Écrire la fonction sous la forme d'un produit u′(x)v(x)u'(x)v(x).
  • Choisir judicieusement u′(x)u'(x) et v(x)v(x) (en général, on dérive les polynômes ou logarithmes, et on intègre les exponentielles ou trigonométriques).
  • Calculer u(x)u(x) (une primitive de u′u') et v′(x)v'(x) (la dérivée de vv).
  • Appliquer la formule de l'IPP et simplifier le résultat.

ExempleCalcul par IPP
Calculons l'intégrale : I=∫01xexdxI = \int_0^1 x e^x \dd x. Posons :
{v(x)=x  ⟹  v′(x)=1u′(x)=ex  ⟹  u(x)=ex\begin{cases} v(x) = x & \implies v'(x) = 1 \\ u'(x) = e^x & \implies u(x) = e^x \end{cases}
Les fonctions uu et vv sont bien dérivables, et leurs dérivées sont continues sur [0,1][0,1]. Par intégration par parties :
I=[xex]01−∫011×exdx=(1⋅e1−0⋅e0)−[ex]01=e−(e1−e0)=1I = \Big[ x e^x \Big]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x \dd x = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - \Big[ e^x \Big]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = 1