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Primitives et calcul intégral

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Exercice 1 : Primitive simple avec condition
Énoncé
Déterminer la primitive FF de la fonction f(x)=3x2−x+1f(x) = 3x^2 - x + 1 sur R\R qui s'annule en 0.

Solution : Les primitives de la fonction polynomiale ff sont de la forme :

F(x)=3(x33)−x22+x+C=x3−x22+x+CF(x) = 3\left(\frac{x^3}{3}\right) - \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - \frac{x^2}{2} + x + C
où C∈RC \in \R. On cherche la primitive qui s'annule en 0, soit :
F(0)=0  ⟺  03−022+0+C=0  ⟺  C=0F(0) = 0 \iff 0^3 - \frac{0^2}{2} + 0 + C = 0 \iff C = 0
La primitive cherchée est la fonction FF définie sur R\R par :
F(x)=x3−x22+xF(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x

Exercice 2 : Primitive de la forme u′/uu'/u
Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[ par :
f(x)=3x2x3+1f(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}

Solution : Posons u(x)=x3+1u(x) = x^3 + 1. La fonction uu est strictement positive et dérivable sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[ avec u′(x)=3x2u'(x) = 3x^2. La fonction ff s'écrit donc sous la forme u′u\frac{u'}{u}. Une primitive de ff sur cet intervalle est :

F(x)=ln⁡(u(x))=ln⁡(x3+1)F(x) = \ln(u(x)) = \ln(x^3 + 1)

Exercice 3 : Primitive de la forme u′euu' e^u
Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\R par :
f(x)=xex2+1f(x) = x e^{x^2 + 1}

Solution : Posons u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1. La fonction uu est dérivable sur R\R avec u′(x)=2xu'(x) = 2x. Exprimons f(x)f(x) en fonction de u′u' :

f(x)=12(2x)ex2+1=12u′(x)eu(x)f(x) = \frac{1}{2} (2x) e^{x^2 + 1} = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}
La fonction ff est de la forme 12u′eu\frac{1}{2} u' e^u. Une primitive de ff sur R\R est :
F(x)=12eu(x)=12ex2+1F(x) = \frac{1}{2} e^{u(x)} = \frac{1}{2} e^{x^2 + 1}

Exercice 4 : Primitive de la forme u′unu' u^n
Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\R par :
f(x)=(2x+1)4f(x) = (2x + 1)^4

Solution : Posons u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1. La fonction uu est dérivable sur R\R avec u′(x)=2u'(x) = 2. Exprimons f(x)f(x) en fonction de u′u' :

f(x)=12×2(2x+1)4=12u′(x)(u(x))4f(x) = \frac{1}{2} \times 2 (2x + 1)^4 = \frac{1}{2} u'(x) (u(x))^4
La fonction ff est de la forme 12u′u4\frac{1}{2} u' u^4. Une primitive de ff sur R\R est :
F(x)=12×u55=110(2x+1)5F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{u^5}{5} = \frac{1}{10} (2x + 1)^5

Exercice 5 : Primitive de la forme u′/uu'/\sqrt{u}
Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur ]−1/3,+∞[]-1/3, +\infty[ par :
f(x)=13x+1f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}

Solution : Posons u(x)=3x+1u(x) = 3x + 1. Sur ]−1/3,+∞[]-1/3, +\infty[, u(x)>0u(x) > 0. Sa dérivée est u′(x)=3u'(x) = 3. Exprimons f(x)f(x) en fonction de u′u' :

f(x)=13×33x+1=13×u′(x)u(x)=23×u′(x)2u(x)f(x) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{\sqrt{3x+1}} = \frac{1}{3} \times \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} = \frac{2}{3} \times \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
La fonction est de la forme 23u′2u\frac{2}{3} \frac{u'}{2\sqrt{u}}. Une primitive de ff sur cet intervalle est :
F(x)=23u(x)=233x+1F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{u(x)} = \frac{2}{3} \sqrt{3x + 1}

Exercice 6 : Calcul d'intégrale simple
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante :
I=∫01(3x2−2x+1)dxI = \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \dd x

Solution : Une primitive de la fonction x↦3x2−2x+1x \mapsto 3x^2 - 2x + 1 est F(x)=x3−x2+xF(x) = x^3 - x^2 + x. On a :

I=[x3−x2+x]01=(13−12+1)−(03−02+0)=1−0=1I = \Big[ x^3 - x^2 + x \Big]_0^1 = (1^3 - 1^2 + 1) - (0^3 - 0^2 + 0) = 1 - 0 = 1

Exercice 7 : Intégrale de la fonction inverse
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante :
J=∫1e1xdxJ = \int_1^e \frac{1}{x} \dd x

Solution : Une primitive de la fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} sur ]0,+∞[]0, +\infty[ est F(x)=ln⁡(x)F(x) = \ln(x). On a :

J=[ln⁡(x)]1e=ln⁡(e)−ln⁡(1)=1−0=1J = \Big[ \ln(x) \Big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1

Exercice 8 : Intégrale de fonction trigonométrique
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante :
K=∫0πsin⁡(x)dxK = \int_0^{\pi} \sin(x) \dd x

Solution : Une primitive de la fonction x↦sin⁡(x)x \mapsto \sin(x) est F(x)=−cos⁡(x)F(x) = -\cos(x). On a :

K=[−cos⁡(x)]0π=−cos⁡(π)−(−cos⁡(0))=−(−1)+1=1+1=2K = \Big[ -\cos(x) \Big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2

Exercice 9 : Calcul de la valeur moyenne
Énoncé
Déterminer la valeur moyenne de la fonction f(x)=3x2f(x) = 3x^2 sur l'intervalle [1,3][1, 3].

Solution : La valeur moyenne est donnée par la formule :

μ=13−1∫133x2dx=12∫133x2dx\mu = \frac{1}{3-1} \int_1^3 3x^2 \dd x = \frac{1}{2} \int_1^3 3x^2 \dd x
Une primitive de 3x23x^2 est F(x)=x3F(x) = x^3.
∫133x2dx=[x3]13=33−13=27−1=26\int_1^3 3x^2 \dd x = \Big[ x^3 \Big]_1^3 = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26
On obtient :
μ=12×26=13\mu = \frac{1}{2} \times 26 = 13

Exercice 10 : Autre forme u′/uu'/u avec exponentielle
Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\R par :
f(x)=exex+2f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}

Solution : Posons u(x)=ex+2u(x) = e^x + 2. La fonction uu est dérivable et strictement positive sur R\R avec u′(x)=exu'(x) = e^x. La fonction ff s'écrit sous la forme u′u\frac{u'}{u}. Une primitive de ff sur R\R est :

F(x)=ln⁡(u(x))=ln⁡(ex+2)F(x) = \ln(u(x)) = \ln(e^x + 2)

Exercice 11 : Équation différentielle du premier ordre
Énoncé
Résoudre sur R\R l'équation différentielle y′−3y=6y' - 3y = 6 et déterminer l'unique solution ff telle que f(0)=1f(0) = 1.

Solution : 1. L'équation s'écrit y′=3y+6y' = 3y + 6. C'est une équation de la forme y′=ay+by' = ay + b avec a=3≠0a=3 \ne 0 et b=6b=6. Les solutions générales sur R\R sont de la forme :

y(x)=Ce3x−63=Ce3x−2(ouˋ C∈R)y(x) = C e^{3x} - \frac{6}{3} = C e^{3x} - 2 \quad (\text{où } C \in \R)
2. Déterminons la solution ff vérifiant f(0)=1f(0) = 1 :
f(0)=1  ⟺  Ce3(0)−2=1  ⟺  C−2=1  ⟺  C=3f(0) = 1 \iff C e^{3(0)} - 2 = 1 \iff C - 2 = 1 \iff C = 3
La solution unique cherchée est la fonction ff définie sur R\R par :
f(x)=3e3x−2f(x) = 3 e^{3x} - 2

Exercice 12 : Équation différentielle du second ordre
Énoncé
Résoudre sur R\R l'équation différentielle suivante :
y′′−2y′+2y=0y'' - 2y' + 2y = 0

Solution : C'est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients réels. Écrivons son équation caractéristique associée :

r2−2r+2=0r^2 - 2r + 2 = 0
Calculons son discriminant :
Δ=(−2)2−4(1)(2)=4−8=−4\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4
Puisque Δ<0\Delta < 0, l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées :
r1=2−i42=1−ietr2=1+ir_1 = \frac{2 - \iud\sqrt{4}}{2} = 1 - \iud \quad \text{et} \quad r_2 = 1 + \iud
Ici, la partie réelle est p=1p = 1 et la partie imaginaire est q=1q = 1. D'après le théorème du cours, les solutions de l'équation différentielle sur R\R sont les fonctions de la forme :
y(x)=ex(αcos⁡(x)+βsin⁡(x))(ouˋ α,β∈R)y(x) = e^x \Big( \alpha \cos(x) + \beta \sin(x) \Big) \quad (\text{où } \alpha, \beta \in \R)