🎓 Chahd
📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre transpose les outils vectoriels et analytiques de la géométrie plane à l'espace à trois dimensions. Nous allons étudier les droites, les plans, le produit scalaire dans l'espace, et caractériser les plans par leurs équations cartésiennes.

Vecteurs, Droites et Plans dans l'Espace

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur.

DéfinitionReprésentation paramétrique d'une droite
Soit DD la droite passant par le point A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) et de vecteur directeur u→(a,b,c)\vec{u}(a, b, c). Un point M(x,y,z)M(x, y, z) appartient à DD si et seulement s'il existe un réel tt (le paramètre) tel que AM→=tu→\vec{AM} = t \vec{u}. Le système d'équations suivant est appelé représentation paramétrique de la droite DD :
{x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{cases} \quad (t \in \R)
Vecteurs coplanaires et définition d'un plan
DéfinitionVecteurs coplanaires
Trois vecteurs sont dits coplanaires si leurs représentants ayant une même origine ont leurs extrémités dans un même plan.
DéfinitionReprésentation d'un plan
Un plan P\mathcal{P} est déterminé par un point AA et deux vecteurs u→\vec{u} et v→\vec{v} non colinéaires (appelés vecteurs directeurs du plan). Un point MM appartient à P\mathcal{P} si et seulement s'il existe deux réels tt et ss tels que :
AM→=tu→+sv→\vec{AM} = t \vec{u} + s \vec{v}

Produit Scalaire et Orthogonalité dans l'Espace

Dans toute la suite, l'espace est muni d'un repère orthonormé (O;ı→,ȷ→,k→)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}).

Expression analytique du produit scalaire
DéfinitionProduit scalaire
Soient u→(x,y,z)\vec{u}(x, y, z) et v→(x′,y′,z′)\vec{v}(x', y', z') deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire u→⋅v→\vec{u} \cdot \vec{v} est le nombre réel défini par :
u→⋅v→=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'
La norme du vecteur u→\vec{u} est ∥u→∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}, et la distance entre A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B, y_B, z_B) est :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}
Orthogonalité
DéfinitionOrthogonalité d'une droite et d'un plan
Une droite DD est orthogonale à un plan P\mathcal{P} si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P\mathcal{P}. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan P\mathcal{P}.

Équation Cartésienne d'un Plan

Vecteur normal à un plan
DéfinitionVecteur normal
On dit qu'un vecteur non nul n→\vec{n} est un vecteur normal au plan P\mathcal{P} si la droite dirigée par n→\vec{n} est orthogonale au plan P\mathcal{P}. Le vecteur n→\vec{n} est alors orthogonal à tout vecteur directeur du plan P\mathcal{P}.

\begin{center}

Figure du cours
\end{center}

Équation cartésienne
◆ThéorèmeÉquation cartésienne d'un plan
  • Tout plan P\mathcal{P} admettant un vecteur normal n→(a,b,c)\vec{n}(a, b, c) possède une équation cartésienne de la forme :
ax+by+cz+d=0a x + b y + c z + d = 0
où dd est un réel.
  • Réciproquement, pour tous réels aa, bb, cc non tous nuls, l'ensemble des points M(x,y,z)M(x, y, z) tels que ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal n→(a,b,c)\vec{n}(a, b, c).

Le Produit Vectoriel et Applications

Le produit vectoriel est une opération propre à l'espace tridimensionnel qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur orthogonal aux deux premiers.

Définition et expression analytique

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O;ı→,ȷ→,k→)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) :

DéfinitionProduit vectoriel
Soient u→(x,y,z)\vec{u}(x, y, z) et v→(x′,y′,z′)\vec{v}(x', y', z') deux vecteurs de l'espace. On appelle produit vectoriel de u→\vec{u} et v→\vec{v}, noté u→∧v→\vec{u} \wedge \vec{v} (ou u→×v→\vec{u} \times \vec{v}), le vecteur dont les coordonnées sont définies par :
u→∧v→=(yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′)\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y z' - z y' \\ z x' - x z' \\ x y' - y x' \end{pmatrix}

Propriété : Propriétés géométriques

Soient deux vecteurs non colinéaires u→\vec{u} et v→\vec{v}. Le vecteur w→=u→∧v→\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v} possède les caractéristiques suivantes :
  • Direction : Le vecteur w→\vec{w} est orthogonal à la fois à u→\vec{u} et à v→\vec{v}. Il est donc normal au plan dirigé par u→\vec{u} et v→\vec{v}.
  • Sens : Le trièdre (u→,v→,w→)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) est direct (règle des trois doigts de la main droite).
  • Norme : La norme de w→\vec{w} est donnée par :
∥u→∧v→∥=∥u→∥×∥v→∥×sin⁡(θ)\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin(\theta)
où θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] désigne l'angle entre les vecteurs u→\vec{u} et v→\vec{v}.

Propriété : Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs u→\vec{u}, v→\vec{v}, w→\vec{w} et pour tout réel λ\lambda :
  • Anti-symétrie : u→∧v→=−(v→∧u→)\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u}).
  • Bilinérarité :
u→∧(v→+w→)=u→∧v→+u→∧w→\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}
(λu→)∧v→=λ(u→∧v→)(\lambda \vec{u}) \wedge \vec{v} = \lambda (\vec{u} \wedge \vec{v})
  • Condition de colinéarité : u→∧v→=0→  ⟺  u→\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} et v→\vec{v} sont colinéaires.

Applications géométriques

1. Aire d'un triangle et d'un parallélogramme

  • Aire d'un triangle : L'aire du triangle ABCABC dans l'espace est égale à :
A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A}(ABC) = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|
  • Aire d'un parallélogramme : L'aire du parallélogramme ABCDABCD de vecteurs directeurs AB→\vec{AB} et AD→\vec{AD} est égale à :
A(ABCD)=∥AB→∧AD→∥\mathcal{A}(ABCD) = \|\vec{AB} \wedge \vec{AD}\|

2. Distance d'un point à une droite dans l'espace Soit une droite D(A,u→)D(A, \vec{u}) passant par le point AA et de vecteur directeur u→\vec{u}, et soit MM un point quelconque de l'espace. La distance du point MM à la droite DD est donnée par la formule :

d(M,D)=∥AM→∧u→∥∥u→∥d(M, D) = \frac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}

Équation de la Sphère et Intersections

La sphère est l'ensemble des points de l'espace situés à une même distance (le rayon) d'un point donné (le centre). L'étude analytique de la sphère et de ses intersections avec des droites et des plans est une composante essentielle de la géométrie analytique de l'espace.

Équation cartésienne d'une sphère
◆ThéorèmeÉquation d'une sphère définie par son centre et son rayon
Soit Ω(x0,y0,z0)\Omega(x_0, y_0, z_0) un point de l'espace et RR un réel strictement positif. La sphère S\mathcal{S} de centre Ω\Omega et de rayon RR est l'ensemble des points M(x,y,z)M(x, y, z) de l'espace vérifiant :
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
Cette équation est appelée l'équation cartésienne de la sphère S\mathcal{S}.
◆ThéorèmeSphère définie par son diamètre
Soient A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B, y_B, z_B) deux points distincts de l'espace. La sphère S\mathcal{S} de diamètre [AB][AB] est l'ensemble des points M(x,y,z)M(x, y, z) de l'espace vérifiant la condition d'orthogonalité :
MA→⋅MB→=0  ⟺  (x−xA)(x−xB)+(y−yA)(y−yB)+(z−zA)(z−zB)=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \iff (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) + (z - z_A)(z - z_B) = 0
Le centre Ω\Omega de la sphère est le milieu du segment [AB][AB] et son rayon vaut R=AB2R = \frac{AB}{2}.

Propriété : Détermination géométrique de l'ensemble x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Soient a,b,ca, b, c et dd quatre réels. Soit (E)(E) l'ensemble des points M(x,y,z)M(x, y, z) vérifiant l'équation :
x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
En utilisant la forme canonique, cette équation s'écrit :
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=a2+b2+c2−d(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d
Soit H=a2+b2+c2−dH = a^2 + b^2 + c^2 - d. On a trois cas :
  • Si H>0H > 0, alors (E)(E) est la sphère de centre Ω(a,b,c)\Omega(a, b, c) et de rayon R=HR = \sqrt{H}.
  • Si H=0H = 0, alors (E)(E) est réduit au seul point Ω(a,b,c)\Omega(a, b, c).
  • Si H<0H < 0, alors (E)(E) est l'ensemble vide (∅\emptyset).

Intersection d'une sphère et d'un plan

Soit S\mathcal{S} une sphère de centre Ω\Omega et de rayon RR, et P\mathcal{P} un plan. Soit d=d(Ω,P)d = d(\Omega, \mathcal{P}) la distance du centre Ω\Omega au plan P\mathcal{P}. Soit HH le projeté orthogonal de Ω\Omega sur le plan P\mathcal{P}.

◆ThéorèmePositions relatives d'une sphère et d'un plan
On distingue trois cas possibles :
  • Si d>Rd > R : Le plan P\mathcal{P} et la sphère S\mathcal{S} n'ont aucun point commun.
S∩P=∅\mathcal{S} \cap \mathcal{P} = \emptyset
  • Si d=Rd = R : Le plan P\mathcal{P} est tangent à la sphère S\mathcal{S} en l'unique point HH.
S∩P={H}\mathcal{S} \cap \mathcal{P} = \{H\}
  • Si d<Rd < R : Le plan P\mathcal{P} et la sphère S\mathcal{S} se coupent selon un cercle C\mathcal{C} de centre HH (le projeté orthogonal de Ω\Omega sur P\mathcal{P}) et de rayon :
r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}

\begin{center}

Figure du cours
\end{center}

Intersection d'une sphère et d'une droite

Soit S\mathcal{S} une sphère de centre Ω\Omega et de rayon RR, et D\mathcal{D} une droite de représentation paramétrique donnée. Pour déterminer l'intersection S∩D\mathcal{S} \cap \mathcal{D} :

  • On injecte les expressions de x(t)x(t), y(t)y(t) et z(t)z(t) de la droite D\mathcal{D} dans l'équation cartésienne de la sphère S\mathcal{S}.
  • On obtient une équation du second degré d'inconnue tt.
  • Selon le signe du discriminant Δ\Delta de cette équation :
  • Si Δ<0\Delta < 0 : aucune solution réelle, la droite et la sphère n'ont aucun point d'intersection (la droite passe à l'extérieur).
  • Si Δ=0\Delta = 0 : une solution réelle unique t0t_0, la droite est tangente à la sphère en un point HH de paramètre t0t_0.
  • Si Δ>0\Delta > 0 : deux solutions réelles t1t_1 et t2t_2, la droite est sécante à la sphère en deux points distincts M1M_1 et M2M_2 de paramètres respectifs t1t_1 et t2t_2.

Méthodes Clés

MéthodeDéterminer l'équation cartésienne d'un plan
Pour déterminer l'équation cartésienne d'un plan P\mathcal{P} passant par A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur normal n→(a,b,c)\vec{n}(a, b, c) :
  • L'équation du plan est de la forme ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0.
  • On remplace xx, yy et zz par les coordonnées de AA pour déterminer la constante dd :
axA+byA+czA+d=0  ⟹  d=−(axA+byA+czA)a x_A + b y_A + c z_A + d = 0 \implies d = -(a x_A + b y_A + c z_A)
  • On écrit l'équation finale obtenue.

ExempleÉquation de plan
Soit le plan P\mathcal{P} passant par A(1,−2,3)A(1, -2, 3) et de vecteur normal n→(2,1,−1)\vec{n}(2, 1, -1).
  • Comme n→(2,1,−1)\vec{n}(2, 1, -1) est normal à P\mathcal{P}, l'équation est de la forme : 2x+y−z+d=02x + y - z + d = 0.
  • Le point A(1,−2,3)A(1, -2, 3) appartient au plan, donc :
2(1)+(−2)−3+d=0  ⟺  2−2−3+d=0  ⟺  d=32(1) + (-2) - 3 + d = 0 \iff 2 - 2 - 3 + d = 0 \iff d = 3
  • L'équation cartésienne du plan P\mathcal{P} est donc :
2x+y−z+3=02x + y - z + 3 = 0