Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre aborde l'étude des probabilités sous l'angle du conditionnement, de la répétition d'épreuves indépendantes (la loi binomiale) et des théorèmes limites fondamentaux (inégalités de concentration et loi des grands nombres).

Conditionnement et Indépendance

Probabilité conditionnelle

DéfinitionProbabilité conditionnelle

Soient

A

B

deux événements d'un univers

\Omega

, avec

P(A) \ne 0

. La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée

P_A(B)

(ou

P(B|A)

), est définie par :

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

On en déduit la relation de probabilité de l'intersection :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

Arbre pondéré et probabilités totales

Pour modéliser une expérience à étapes, on utilise un arbre pondéré :

\begin{center}

\end{center}

Règles de calcul dans un arbre pondéré :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1 (e.g. $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ et $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$ ).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent (e.g. $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ ).

◆ThéorèmeFormule des probabilités totales

Soit

A_1, A_2, \dots, A_n

une partition de l'univers

\Omega

(événements disjoints deux à deux et dont la réunion est

\Omega

). Pour tout événement

B

, on a :

P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)

C'est-à-dire, si les probabilités conditionnelles sont définies :

P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \times P_{A_i}(B)

Indépendance

DéfinitionÉvénements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si et seulement si :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

P(A) \ne 0

, cela équivaut à

P_A(B) = P(B)

Succession d'Épreuves Indépendantes et Loi Binomiale

Épreuve et schéma de Bernoulli

DéfinitionÉpreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'admettant que deux issues :

Le succès, noté $S$ , de probabilité $p$ ( $0 < p < 1$ ).
L'échec, noté $\bar{S}$ , de probabilité $q = 1-p$ .

La variable aléatoire $X$ qui associe 1 au succès et 0 à l'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

DéfinitionSchéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de

n

épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Loi Binomiale

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l'issue d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ .

◆ThéorèmeLoi Binomiale

La variable aléatoire

X

suit la loi binomiale de paramètres

n

p

, notée

\mathcal{B}(n, p)

. L'ensemble des valeurs prises par

X

est

\llbracket 0, n \rrbracket

. Pour tout entier

k \in \llbracket 0, n \rrbracket

, la probabilité d'obtenir exactement

k

succès est :

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Propriété : Indicateurs de la loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

, alors :

Espérance : $E(X) = np$
Variance : $V(X) = np(1-p)$
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Méthodes Clés

MéthodeCalculer des probabilités avec la loi binomiale

Si une variable aléatoire

X

suit la loi

\mathcal{B}(n, p)

Pour calculer $P(X = k)$ , on applique directement la formule : $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
Pour calculer la probabilité d'avoir au moins un succès ( $P(X \ge 1)$ ), on passe par l'événement contraire :

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n

ExempleCalcul binomial

Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces 5 fois de suite. On s'intéresse à l'obtention de la face « 6 ».

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec pour succès $S$ : « obtenir un 6 » ( $p = 1/6$ ) et échec $\bar{S}$ ( $q = 5/6$ ).
Les lancers sont identiques et indépendants, donc la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de « 6 » suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5, 1/6)$ .
La probabilité d'obtenir exactement deux « 6 » est :

P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0,161