Probabilités

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Problème 1 : Modélisation médicale (Faux positifs et Faux négatifs)

Énoncé

Dans une population, une maladie touche

1\%

des individus. On met au point un test de dépistage de cette maladie :

Si un individu est malade, le test est positif dans $99\%$ des cas (sensibilité du test).
Si un individu est sain, le test est négatif dans $95\%$ des cas (spécificité du test). On choisit un individu au hasard. On note $M$ l'événement « l'individu est malade » et $T$ « le test est positif ».

Modéliser la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que le test soit positif pour un individu choisi au hasard.
Si le test d'un individu est positif, quelle est la probabilité qu'il soit réellement malade ? Commenter le résultat obtenu.
Si le test est négatif, quelle est la probabilité que l'individu soit tout de même malade (cas d'un faux négatif) ?

Solution :

L'arbre pondéré traduisant la situation est : \begin{center}

\end{center}

D'après la formule des probabilités totales, $\mathcal{P} = \{M, \bar{M}\}$ constituant une partition de l'univers :

\begin{aligned} P(T) &= P(M \cap T) + P(\bar{M} \cap T) \\ &= P(M) \times P_M(T) + P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T) \\ &= 0,01 \times 0,99 + 0,99 \times 0,05 \\ &= 0,0099 + 0,0495 = 0,0594 \end{aligned}

La probabilité que le test soit positif est de 0,0594 (soit

5,94\%

On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P_T(M)$ :

P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0,0099}{0,0594} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6} \approx 0,167

Commentaire : Bien que le test soit individuellement très performant (99% de sensibilité et 95% de spécificité), un individu dont le test est positif n'a qu'environ

16,7\%

de chances d'être réellement malade. Cela est dû au fait que la maladie est rare (

1\%

) : le nombre absolu de faux positifs (

4,95\%

) est bien plus important que le nombre de vrais positifs (

0,99\%

On cherche à calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est négatif, soit $P_{\bar{T}}(M)$ :

P_{\bar{T}}(M) = \frac{P(M \cap \bar{T})}{P(\bar{T})} = \frac{P(M) \times P_M(\bar{T})}{1 - P(T)} = \frac{0,01 \times 0,01}{1 - 0,0594} = \frac{0,0001}{0,9406} \approx 0,000106

La probabilité qu'un patient ayant un test négatif soit quand même malade est extrêmement faible (environ

0,01\%

Problème 2 : Modélisation des parts de marché (Suites et Probabilités)

Énoncé

Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile A et B se partagent le marché. On constate chaque année que :

$15\%$ des clients de l'opérateur A changent pour B, tandis que $85\%$ lui restent fidèles.
$20\%$ des clients de l'opérateur B changent pour A, tandis que $80\%$ lui restent fidèles. Initialement (à l'année 0), l'opérateur A détient $70\%$ des clients et B en détient $30\%$ . Pour tout entier $n \ge 0$ , on note $a_n$ la part de marché de A et $b_n$ la part de marché de B à l'année $n$ .

Justifier que pour tout entier $n \ge 0$ , $a_n + b_n = 1$ .
Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$ , puis démontrer que :

a_{n+1} = 0,65 a_n + 0,2

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \ge 0$ par $u_n = a_n - \frac{4}{7}$ . Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,65$ .
Exprimer $u_n$ puis $a_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(a_n)$ lorsque $n \to +\infty$ . Interpréter ce résultat.

Solution :

Les deux opérateurs A et B se partageant l'intégralité du marché sans perte de clients globale, la somme des proportions de clients de A et B est égale à la totalité du marché, soit $a_n + b_n = 1$ pour tout $n \ge 0$ .

À l'année $n+1$ , les clients de A proviennent :
des clients fidèles de A de l'année précédente (proportion $0,85 a_n$ ).
des clients de B ayant migré chez A (proportion $0,20 b_n$ ). D'où :

a_{n+1} = 0,85 a_n + 0,20 b_n

Comme

b_n = 1 - a_n

, on obtient :

a_{n+1} = 0,85 a_n + 0,20(1 - a_n) = 0,85 a_n + 0,2 - 0,2 a_n = 0,65 a_n + 0,2

Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :

\begin{aligned} u_{n+1} &= a_{n+1} - \frac{4}{7} \\ &= (0,65 a_n + 0,2) - \frac{4}{7} \\ &= 0,65 a_n + \frac{1}{5} - \frac{4}{7} \\ &= 0,65 a_n + \frac{7 - 20}{35} \\ &= 0,65 a_n - \frac{13}{35} \end{aligned}

Factorisons par

0,65 = \frac{13}{20}

u_{n+1} = 0,65 \left( a_n - \frac{13/35}{13/20} \right) = 0,65 \left( a_n - \frac{13}{35} \times \frac{20}{13} \right) = 0,65 \left( a_n - \frac{20}{35} \right) = 0,65 \left( a_n - \frac{4}{7} \right) = 0,65 u_n

La suite

(u_n)

est donc géométrique de raison

q = 0,65

Le premier terme de la suite est :

u_0 = a_0 - \frac{4}{7} = 0,7 - \frac{4}{7} = \frac{7}{10} - \frac{4}{7} = \frac{49 - 40}{70} = \frac{9}{70}

Par propriété des suites géométriques :

u_n = u_0 \times q^n = \frac{9}{70} \times (0,65)^n

On en déduit que :

a_n = u_n + \frac{4}{7} = \frac{9}{70} \times (0,65)^n + \frac{4}{7}

Comme $-1 < 0,65 < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} (0,65)^n = 0$ . Par théorème d'opération sur les limites :

\lim_{n \to +\infty} a_n = \frac{4}{7} \approx 0,571

À long terme, la part de marché de l'opérateur A se stabilisera autour de

57,1\%

et celle de l'opérateur B autour de

42,9\%

, indépendamment des parts de marché de départ.

Problème 3 : Jeu de casino et espérance de gain

Énoncé

Un joueur participe à un jeu dans un casino. Il lance un dé équilibré à 6 faces :

S'il obtient un 6, il gagne 10 euros.
S'il obtient 4 ou 5, il gagne 2 euros.
S'il obtient 1, 2 ou 3, il perd 5 euros.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Le joueur effectue 5 parties successives et indépendantes. On note $Y$ le nombre de parties gagnantes (les parties où le joueur réalise un gain strictement positif).

Préciser la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ .
Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins 4 parties sur les 5 (arrondir à $10^{-4}$ ).
Quelle est la probabilité que le joueur perde de l'argent sur l'ensemble des 5 parties dans le cas extrême où il ne gagne aucune partie ?

Solution :

Les valeurs possibles pour $X$ sont $10$ , $2$ et $-5$ . Les probabilités associées sont :
$P(X = 10) = P(\{6\}) = \frac{1}{6}$
$P(X = 2) = P(\{4, 5\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(X = -5) = P(\{1, 2, 3\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau : \begin{center}

$x_i$	$-5$	$2$	$10$
$P(X = x_i)$	$1/2$	$1/3$	$1/6$

\end{center}

L'espérance mathématique est :

E(X) = -5 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 10 \times \frac{1}{6} = -\frac{15}{6} + \frac{4}{6} + \frac{10}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0,17 \text{ euro}

Puisque

E(X) < 0

, le jeu est défavorable au joueur (il perd en moyenne environ 17 centimes d'euro par partie).

Répétition de 5 épreuves de Bernoulli :

Une partie est gagnante si le gain est strictement positif, soit si $X \in \{2, 10\}$ . La probabilité de succès pour une partie est :

p = P(X = 2) + P(X = 10) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5

Comme les parties sont identiques et indépendantes, la variable aléatoire

Y

suit la loi binomiale de paramètres

n = 5

p = 0,5

, soit

\mathcal{B}(5; 0,5)

On cherche $P(Y \ge 4)$ :

\begin{aligned} P(Y \ge 4) &= P(Y = 4) + P(Y = 5) \\ &= \binom{5}{4} (0,5)^4 (0,5)^1 + \binom{5}{5} (0,5)^5 (0,5)^0 \\ &= 5 \times (0,5)^5 + 1 \times (0,5)^5 \\ &= 6 \times 0,03125 = 0,1875 \end{aligned}

La probabilité que le joueur gagne au moins 4 parties est de 0,1875.

Si le joueur ne gagne aucune partie ( $Y=0$ ), cela signifie qu'il a perdu à chacune des 5 parties (il a obtenu 5 fois l'issue $-5$ euros). La probabilité de cet événement est :

P(Y = 0) = \binom{5}{0} (0,5)^0 (0,5)^5 = 0,03125

Dans ce cas, le gain total sur les 5 parties est

5 \times (-5) = -25

euros.