Probabilités

Exercice 1 : Conditionnement simple et arbre pondéré

Solution : Soient les événements :

• $A$ : « la pièce est fabriquée par la machine A »
• $B$ : « la pièce est fabriquée par la machine B »
• $D$ : « la pièce est défectueuse »

• L'arbre pondéré représentant la situation est le suivant : \begin{center}

\end{center}

• On cherche à calculer la probabilité de l'intersection $A \cap D$ :

La probabilité que la pièce provienne de la machine A et soit défectueuse est de 0,012.

• D'après la formule des probabilités totales, comme $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, on a :

La probabilité que la pièce soit défectueuse est de 0,024 (soit $2,4\%$).

Exercice 2 : Inversion des probabilités conditionnelles (Formule de Bayes)

Solution : On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P_D(A)$. Par définition :

D'après les calculs de l'exercice 1, on a $P(A \cap D) = 0,012$ et $P(D) = 0,024$. Calculons : Sachant que la pièce est défectueuse, il y a exactement $50\%$ de chances qu'elle provienne de la machine A.

Exercice 3 : Indépendance d'événements

Solution : L'univers des possibles est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, muni de l'équiprobabilité. Déterminons la composition et la probabilité des événements :

• $A = \{2, 4, 6\} \implies P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• $B = \{3, 6\} \implies P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. L'événement $A \cap B$ correspond à « obtenir un nombre pair et multiple de 3 », c'est-à-dire :
• $A \cap B = \{6\} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Comparons $P(A \cap B)$ et le produit $P(A) \times P(B)$ :

Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Exercice 4 : Loi binomiale - calculs de probabilités

Solution :

• Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « obtenir une boule blanche », de probabilité $p = \frac{3}{10} = 0,3$, et l'échec est de probabilité $1-p = 0,7$. Puisque les tirages sont effectués avec remise, ils sont identiques et indépendants. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès sur 4 répétitions suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0,3$, notée $\mathcal{B}(4; 0,3)$.

• On cherche à calculer $P(X = 2)$ :

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules blanches est de 0,2646.

• On cherche à calculer $P(X \ge 1)$. Utilisons l'événement contraire, qui est $\{X = 0\}$ :

La probabilité d'obtenir au moins une boule blanche est de 0,7599.

Exercice 5 : Indicateurs de la loi binomiale

Solution :

• Le candidat répond au hasard de manière indépendante à 20 questions. Chaque question a une probabilité de succès égale à $p = 0,25$ (1 réponse correcte sur 4). La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,25$, soit $\mathcal{B}(20; 0,25)$.

• L'espérance mathématique de la loi binomiale est donnée par $E(X) = n p$ :

Interprétation : En répondant complètement au hasard, le candidat peut s'attendre à obtenir en moyenne 5 bonnes réponses sur les 20 questions.

• La variance est :

L'écart-type est :

Exercice 6 : Événements indépendants avec la loi binomiale

Solution : Les valeurs possibles pour $X$ sont 0, 1 et 2, avec les probabilités suivantes :

• $P(X=0) = (1-p)^2$
• $P(X=1) = 2p(1-p)$
• $P(X=2) = p^2$ Calculons les probabilités des événements :
• $P(A) = P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^2 = 2p - p^2 = p(2-p)$
• $P(B) = P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1-p)^2 + 2p(1-p) = (1-p)(1-p+2p) = (1-p)(1+p) = 1 - p^2$ L'événement intersection est $A \cap B = \{X = 1\}$, d'où $P(A \cap B) = 2p(1-p)$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ :

Puisque $p \in ]0, 1[$, on a $p \ne 0$ et $1-p \ne 0$. On peut simplifier l'égalité par $p(1-p)$ : Or, comme $p \in ]0, 1[$, $p(1-p)$ n'est jamais nul. L'égalité est impossible. Les événements $A$ et $B$ ne sont donc jamais indépendants, quelle que soit la valeur de $p \in ]0,1[$.