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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

Ce chapitre présente la fonction logarithme népérien, notée ln⁡\ln. Historiquement introduite pour simplifier les calculs astronomiques et de navigation en transformant les produits en sommes, elle joue aujourd'hui un rôle central dans toutes les sciences et en analyse mathématique.

Définition et Propriétés Algébriques

Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R\R, à valeurs dans ]0,+∞[]0, +\infty[. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel x>0x > 0, l'équation ey=xe^y = x d'inconnue yy admet une unique solution sur R\R.

DéfinitionFonction Logarithme Népérien
On appelle fonction logarithme népérien, notée ln⁡\ln, la fonction qui, à tout réel x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, associe l'unique solution yy de l'équation ey=xe^y = x. Ainsi, pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[ et tout y∈Ry \in \R :
y=ln⁡(x)  ⟺  ey=xy = \ln(x) \iff e^y = x

Propriété : Relations fondamentales

De cette définition, on déduit immédiatement :
  • Pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[ : eln⁡(x)=xe^{\ln(x)} = x.
  • Pour tout y∈Ry \in \R : ln⁡(ey)=y\ln(e^y) = y.
  • En particulier : ln⁡(1)=0\ln(1) = 0 et ln⁡(e)=1\ln(e) = 1 (où e≈2,718e \approx 2,718).

Propriétés algébriques

La propriété fondamentale de la fonction logarithme est de transformer les produits en sommes :

Propriété : Relation fonctionnelle et extensions

Pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0 :
ln⁡(a×b)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)
On en déduit également les propriétés suivantes pour tous réels a>0a > 0, b>0b > 0 et n∈Zn \in \Z :
  • Inverse : ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)
  • Quotient : ln⁡(ab)=ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)
  • Puissance : ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln(a^n) = n \ln(a)
  • Racine carrée : ln⁡(a)=12ln⁡(a)\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)

Étude de la fonction logarithme

Variations et dérivabilité
◆ThéorèmeDérivée et variations
La fonction ln⁡\ln est continue et dérivable sur ]0,+∞[]0, +\infty[. Pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[ :
ln⁡′(x)=1x\ln'(x) = \frac{1}{x}
Comme x>0x > 0, ln⁡′(x)>0\ln'(x) > 0. Ainsi, la fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0, +\infty[.

Propriété : Signe du logarithme

  • Si 0<x<10 < x < 1, alors ln⁡(x)<0\ln(x) < 0.
  • Si x>1x > 1, alors ln⁡(x)>0\ln(x) > 0.

Limites aux bornes

Propriété : Limites de référence

  • En +∞+\infty : lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty
  • En 00 (par valeurs supérieures) : lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty

Conséquence géométrique : L'axe des ordonnées (d'équation x=0x=0) est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln⁡\ln.

Symétrie et Représentation Graphique

Puisque les fonctions ln⁡\ln et exp⁡\exp sont réciproques l'une de l'autre, leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy=x.

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Figure du cours
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Limites de Croissances Comparées

À l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de xx, qui elles-mêmes l'emportent sur la fonction logarithme.

◆ThéorèmeCroissances comparées pour ln⁡\ln
Pour tout entier naturel n≥1n \ge 1 :
lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0etlim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0

Méthodes Clés

MéthodeRésoudre des équations et inéquations avec ln⁡\ln
Pour résoudre une équation ou une inéquation contenant des logarithmes :
  • Déterminer le domaine d'étude : les expressions situées dans chaque logarithme doivent être strictement positives.
  • Simplifier les expressions à l'aide des formules algébriques pour regrouper les logarithmes sous la forme ln⁡(A)=ln⁡(B)\ln(A) = \ln(B) ou ln⁡(A)<ln⁡(B)\ln(A) < \ln(B).
  • Utiliser la stricte croissance de la fonction ln⁡\ln :
ln⁡(A)=ln⁡(B)  ⟺  A=Betln⁡(A)<ln⁡(B)  ⟺  A<B\ln(A) = \ln(B) \iff A = B \quad \text{et} \quad \ln(A) < \ln(B) \iff A < B
  • Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine d'étude.

ExempleRésolution d'inéquation
Résolvons dans R\R l'inéquation : ln⁡(x−1)+ln⁡(x)≤ln⁡(2)\ln(x-1) + \ln(x) \le \ln(2).
  • Domaine d'étude : On doit avoir x−1>0x-1 > 0 et x>0x > 0, c'est-à-dire x>1x > 1. L'ensemble d'étude est donc D=]1,+∞[D = ]1, +\infty[.
  • Simplification : Pour x∈Dx \in D, ln⁡(x−1)+ln⁡(x)=ln⁡(x(x−1))=ln⁡(x2−x)\ln(x-1) + \ln(x) = \ln(x(x-1)) = \ln(x^2-x). L'inéquation devient :
ln⁡(x2−x)≤ln⁡(2)  ⟺  x2−x≤2  ⟺  x2−x−2≤0\ln(x^2-x) \le \ln(2) \iff x^2 - x \le 2 \iff x^2 - x - 2 \le 0
Le discriminant du trinôme est Δ=(−1)2−4(1)(−2)=9>0\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 9 > 0. Les racines sont x1=−1x_1 = -1 et x2=2x_2 = 2. Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, c'est-à-dire sur [−1,2][-1, 2].
  • Conclusion : En croisant avec l'ensemble d'étude D=]1,+∞[D = ]1, +\infty[, on obtient l'ensemble des solutions :
S=]1,2]S = ]1, 2]