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Fonction logarithme népérien

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Exercice 1 : Équation logarithmique simple
Énoncé
Résoudre dans R\R l'équation suivante :
ln⁡(2x−1)=3\ln(2x - 1) = 3

Solution : 1. Domaine d'étude : L'expression sous le logarithme doit être strictement positive :

2x−1>0  ⟺  x>12  ⟹  D=]12,+∞[2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2} \implies D = \left] \frac{1}{2}, +\infty \right[
2. Résolution :
ln⁡(2x−1)=3  ⟺  2x−1=e3  ⟺  2x=e3+1  ⟺  x=e3+12\ln(2x - 1) = 3 \iff 2x - 1 = e^3 \iff 2x = e^3 + 1 \iff x = \frac{e^3 + 1}{2}
3. Vérification : Comme e3>0e^3 > 0, e3+12>12\frac{e^3 + 1}{2} > \frac{1}{2}, la solution appartient bien à DD. L'ensemble des solutions est :
S={e3+12}S = \left\{ \frac{e^3 + 1}{2} \right\}

Exercice 2 : Inéquation logarithmique
Énoncé
Résoudre dans R\R l'inéquation suivante :
ln⁡(x2−1)≥ln⁡(3)\ln(x^2 - 1) \ge \ln(3)

Solution : 1. Domaine d'étude : On doit avoir x2−1>0  ⟺  x2>1  ⟺  x∈]−∞,−1[∪]1,+∞[=Dx^2 - 1 > 0 \iff x^2 > 1 \iff x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[ = D. 2. Résolution : Par stricte croissance de la fonction ln⁡\ln sur ]0,+∞[]0, +\infty[ :

ln⁡(x2−1)≥ln⁡(3)  ⟺  x2−1≥3  ⟺  x2≥4  ⟺  x∈]−∞,−2]∪[2,+∞[\ln(x^2 - 1) \ge \ln(3) \iff x^2 - 1 \ge 3 \iff x^2 \ge 4 \iff x \in ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[
3. Vérification : L'ensemble obtenu est entièrement inclus dans le domaine d'étude DD. L'ensemble des solutions est :
S=]−∞,−2]∪[2,+∞[S = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[

Exercice 3 : Limite par croissance comparée
Énoncé
Déterminer la limite en +∞+\infty de la fonction ff définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par :
f(x)=ln⁡(x)x2f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}

Solution : C'est une forme indéterminée du type « ∞∞\frac{\infty}{\infty} ». D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier n≥1n \ge 1, lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0. En choisissant n=2n = 2, on obtient directement :

lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

Exercice 4 : Limite en 0 par croissance comparée
Énoncé
Déterminer la limite en 0+0^+ de la fonction ff définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par :
f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x)

Solution : C'est une forme indéterminée du type « 0×(−∞)0 \times (-\infty) ». D'après le cours, le théorème des croissances comparées en 0+0^+ énonce que pour tout n≥1n \ge 1 :

lim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
En posant n=1n = 1, on obtient :
lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0

Exercice 5 : Limite de quotient sans indétermination
Énoncé
Déterminer la limite en 0+0^+ de la fonction ff définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par :
f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}

Solution : Étudions séparément la limite du numérateur et du dénominateur :

  • lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty.
  • lim⁡x→0+1x=+∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty. Puisque f(x)=ln⁡(x)×1xf(x) = \ln(x) \times \frac{1}{x}, par produit de limites (« −∞×(+∞)-\infty \times (+\infty) ») :
lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty
Il n'y avait pas d'indétermination ici.

Exercice 6 : Dérivation d'un logarithme composé
Énoncé
Déterminer la dérivée de la fonction ff définie sur ]1,2[]1, 2[ par :
f(x)=ln⁡(−x2+3x−2)f(x) = \ln(-x^2 + 3x - 2)

Solution : La fonction ff est de la forme ln⁡(u)\ln(u) avec u(x)=−x2+3x−2u(x) = -x^2 + 3x - 2. Pour x∈]1,2[x \in ]1, 2[, le trinôme u(x)u(x) est strictement positif (car ses racines sont 1 et 2, et le coefficient devant x2x^2 est négatif). La fonction est donc dérivable. Sa dérivée est u′(x)=−2x+3u'(x) = -2x + 3. D'après la formule (ln⁡(u))′=u′u(\ln(u))' = \frac{u'}{u}, on obtient :

f′(x)=−2x+3−x2+3x−2f'(x) = \frac{-2x + 3}{-x^2 + 3x - 2}

Exercice 7 : Équation de type second degré en ln⁡(x)\ln(x)
Énoncé
Résoudre dans ]0,+∞[]0, +\infty[ l'équation suivante :
(ln⁡(x))2−3ln⁡(x)+2=0(\ln(x))^2 - 3\ln(x) + 2 = 0

Solution : Posons le changement de variable X=ln⁡(x)X = \ln(x). L'équation devient :

X2−3X+2=0X^2 - 3X + 2 = 0
C'est une équation du second degré. Le discriminant est Δ=(−3)2−4(1)(2)=1>0\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1 > 0. Les solutions pour XX sont :
X1=3−12=1etX2=3+12=2X_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{3+1}{2} = 2
Revenons à la variable xx :
  • ln⁡(x)=1  ⟺  x=e1=e\ln(x) = 1 \iff x = e^1 = e.
  • ln⁡(x)=2  ⟺  x=e2\ln(x) = 2 \iff x = e^2. Les deux solutions appartiennent bien au domaine ]0,+∞[]0, +\infty[. L'ensemble des solutions est :
S={e;e2}S = \{e; e^2\}

Exercice 8 : Limite par factorisation forcée
Énoncé
Déterminer la limite en +∞+\infty de la fonction ff définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par :
f(x)=ln⁡(x)−xf(x) = \ln(x) - x

Solution : C'est une forme indéterminée du type « ∞−∞\infty - \infty ». Facteur commun xx :

f(x)=x(ln⁡(x)x−1)f(x) = x \left( \frac{\ln(x)}{x} - 1 \right)
D'après les croissances comparées, lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0. Le terme dans la parenthèse tend donc vers 0−1=−10-1 = -1. Par produit de limites (« +∞×(−1)+\infty \times (-1) ») :
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Exercice 9 : Équation de tangente
Énoncé
Déterminer l'équation de la droite tangente Te\mathcal{T}_e à la courbe de la fonction logarithme f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) au point d'abscisse x=ex=e.

Solution : L'équation de la tangente en a=ea = e est :

y=f′(e)(x−e)+f(e)y = f'(e)(x-e) + f(e)
On sait que f(e)=ln⁡(e)=1f(e) = \ln(e) = 1. De plus, f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}, donc f′(e)=1ef'(e) = \frac{1}{e}. L'équation de la tangente est donc :
y=1e(x−e)+1  ⟹  y=1ex−1+1  ⟹  y=1exy = \frac{1}{e}(x-e) + 1 \implies y = \frac{1}{e}x - 1 + 1 \implies y = \frac{1}{e}x

Exercice 10 : Domaine de définition
Énoncé
Déterminer le domaine de définition de la fonction gg définie par :
g(x)=ln⁡(x−12−x)g(x) = \ln\left( \frac{x-1}{2-x} \right)

Solution : La fonction logarithme n'est définie que pour des valeurs strictement positives. On doit donc résoudre l'inéquation :

x−12−x>0\frac{x-1}{2-x} > 0
Dresseur un tableau de signes pour ce quotient :
  • Le numérateur x−1x-1 s'annule en x=1x=1 et est positif pour x>1x > 1.
  • Le dénominateur 2−x2-x s'annule en x=2x=2 (valeur interdite) et est positif pour x<2x < 2. Le quotient est donc strictement positif entre les valeurs 1 et 2. Le domaine de définition de gg est :
Dg=]1,2[D_g = ]1, 2[