Fonction logarithme népérien

Problème 1 : Étude de la fonction $f(x) = x - \ln(x)$

Solution :

• - Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} -\ln(x) = +\infty$. Par somme, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
• Limite en $+\infty$ : C'est une forme indéterminée. Factourisons par $x$ :

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, le terme dans la parenthèse tend vers 1. Par produit, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ :

Comme $x > 0$, $f'(x)$ a le même signe que $x-1$.

• $f'(x) < 0$ sur $]0, 1[$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]0, 1]$.
• $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$.
• $f'(x) = 0 \iff x = 1$. Le minimum global de $f$ est $f(1) = 1 - \ln(1) = 1$.

• Puisque le minimum de $f$ sur $]0, +\infty[$ est 1, on en déduit que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ :

La fonction $f$ est donc strictement positive sur son domaine.

• Puisque $f(x) > 0 \implies x - \ln(x) > 0 \implies \ln(x) < x$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.

• Calculons la dérivée seconde :

Pour tout $x > 0$, $f''(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement convexe sur $]0, +\infty[$.

Problème 2 : Étude de la fonction $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$

Solution :

• - Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$. Par produit, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. L'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
• Limite en $+\infty$ : Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ :

Comme $x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1-\ln(x)$.

• $1 - \ln(x) > 0 \iff \ln(x) < 1 \iff x < e$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0, e]$ et strictement décroissante sur $[e, +\infty[$. Le maximum de $f$ est atteint en $x = e$ et vaut $f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e} \approx 0,368$.

• L'équation de la tangente en 1 est :

On a $f(1) = \frac{\ln(1)}{1} = 0$ et $f'(1) = \frac{1-\ln(1)}{1^2} = 1$. L'équation de la tangente est donc :

• Étudions la différence $f(x) - (x-1) = \frac{\ln(x) - x(x-1)}{x} = \frac{\ln(x) - x^2 + x}{x}$. Cette différence est complexe à étudier directement. Mais on peut utiliser l'inégalité de la tangente pour la fonction $\ln$ : on sait que la fonction $\ln$ est concave, sa courbe est donc en dessous de sa tangente en 1 d'équation $y = x-1$. Donc pour tout $x > 0$, $\ln(x) \le x - 1$. Puisque $x > 0$, en divisant par $x$ :

Or, pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a l'inégalité $1 - \frac{1}{x} < x - 1$ (car $1 - \frac{1}{x} - (x - 1) = -\frac{(x-1)^2}{x} \le 0$). Donc $\frac{\ln(x)}{x} \le x-1$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de sa tangente $\mathcal{T}$ en 1 pour tout $x \in ]0, +\infty[$.

Problème 3 : Famille de fonctions $f_n(x) = x^n \ln(x)$

Solution :

• Cherchons les points fixes en résolvant $f_n(x) = f_{n+1}(x)$ :

Puisque $x > 0$, cela équivaut à $\ln(x) = 0$ ou $1-x = 0$, soit $x = 1$ ou $x = 1$ (qui donne la même chose) ou le point limite. En fait, évaluons en $x=1$ et $x$ tendant vers 0 ou autre point. Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f_n(x)$ ne dépend pas de $n$ :

• Si $x = 1$, $f_n(1) = 1^n \ln(1) = 0$. Le point fixe est $A(1, 0)$.
• De plus, si on considère l'expression, elle s'annule ou est indépendante pour $x=1$. Mais il n'y a pas d'autre valeur réelle dans $]0, +\infty[$ pour laquelle $x^n$ est constant sauf si le logarithme s'annule (qui donne $x=1$). En fait, y a-t-il un autre point ? Si $x \to 0^+$, la limite est 0 pour tout $n \ge 1$. Mais ce n'est pas un point de la courbe car $f_n$ n'est pas définie en 0. Attendez, y a-t-il une autre valeur ? Non, le texte de la question dit « passent par deux points fixes ». Ah! Le deuxième point n'est pas sur $]0, +\infty[$ ? Non, s'il n'y en a qu'un dans l'intervalle ouvert, l'énoncé classique considère parfois la courbe prolongée en $(0,0)$ ou il y a une erreur dans l'énoncé classique. Puisque la seule solution dans $]0, +\infty[$ de $x^n \ln(x) = x^m \ln(x)$ pour tout $n \ne m$ est $x = 1$, le seul point commun à toutes les courbes sur $]0, +\infty[$ est $A(1, 0)$.

• - Limite en $0^+$ : Par croissance comparée, pour tout $n \ge 1$, $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$.
• Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. Par produit, $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$.

• La fonction $f_n$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ :

Comme $x^{n-1} > 0$ sur $]0, +\infty[$, le signe de $f_n'(x)$ est celui de $n\ln(x)+1$.

• La fonction $f_n$ est donc :
• Strictement décroissante sur $\left]0, e^{-1/n}\right]$.
• Strictement croissante sur $\left[e^{-1/n}, +\infty\right[$. Le minimum est atteint en $x = e^{-1/n}$ et vaut :

Problème 4 : Le niveau d'intensité acoustique (Décibels)

Solution :

• Pour $I = I_0$ :

• Pour $I = 10^{-2}$ :

• Calculons la différence de niveau sonore :

En utilisant la formule du logarithme d'un quotient $\ln(A) - \ln(B) = \ln(A/B)$ : Doubler l'intensité sonore physique correspond donc bien à une augmentation constante d'environ 3 dB.

• Dérivons la fonction $L$ par rapport à $I$ (en écrivant $L(I) = \frac{10}{\ln(10)} (\ln(I) - \ln(I_0))$) :

Comme $I > 0$ et $\ln(10) > 0$, on a $L'(I) > 0$. Puisque $\lim_{I \to +\infty} L'(I) = 0$, la dérivée décroît fortement quand $I$ augmente. Cela signifie que pour des intensités physiques déjà élevées, une même augmentation d'intensité physique $\Delta I$ produit une sensation d'augmentation sonore de plus en plus faible. L'oreille humaine protège ainsi le cerveau en compressant logarithmiquement les fortes variations de pression acoustique.

Problème 5 : Point d'intersection de deux courbes et TVI

Solution :

• Les courbes se coupent en un point d'abscisse $x$ si et seulement si :

Soit la fonction $h$ définie sur $]0, +\infty[$ par $h(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$.

• La fonction $h$ est continue sur $]0, +\infty[$ (différence de fonctions de référence continues).
• La fonction $h$ est dérivable et sa dérivée est :

Pour tout $x > 0$, $h'(x) > 0$. La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

• Limites : $\lim_{x \to 0^+} h(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$. Les courbes se coupent donc en un unique point.

• Calculons les valeurs de $h$ aux bornes de l'intervalle $[1, 2]$ :
• $h(1) = \ln(1) - \frac{1}{1} = -1 < 0$.
• $h(2) = \ln(2) - \frac{1}{2} \approx 0,693 - 0,5 = 0,193 > 0$. Puisque $h(1) < 0$ et $h(2) > 0$, d'après le TVI, on a bien $\alpha \in [1, 2]$.

• Par définition, $\alpha$ est la solution de l'équation $h(x) = 0$, donc :

En multipliant chaque membre de l'égalité par $\alpha$ (qui est non nul) :

• En utilisant la relation $x^y = e^{y \ln(x)}$, on a :

D'après la question précédente, $\alpha \ln(\alpha) = 1$. On a donc :