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📘 Cours complet ✏️ Exercices résolus 🧩 Problèmes résolus

L'introduction de l'ensemble des nombres complexes répond au besoin de résoudre des équations algébriques insolubles dans R\R, comme x2+1=0x^2 + 1 = 0. Cet ensemble offre un cadre puissant pour l'analyse mathématique, la trigonométrie et la géométrie plane.

L'Ensemble C\Cnum et Forme Algébrique

Définition et écriture algébrique
◆ThéorèmeExistence de l'ensemble C\Cnum
Il existe un ensemble de nombres, noté C\Cnum, appelé l'ensemble des nombres complexes, tel que :
  • L'ensemble R\R est inclus dans C\Cnum.
  • Les opérations d'addition et de multiplication de R\R se prolongent à C\Cnum et conservent leurs propriétés usuelles (commutativité, associativité, distributivité).
  • Il existe dans C\Cnum un nombre noté i\iud tel que :
i2=−1\iud^2 = -1
  • Tout élément z∈Cz \in \Cnum s'écrit de manière unique sous la forme :
z=x+iy(avec x∈R et y∈R)z = x + \iud y \quad (\text{avec } x \in \R \text{ et } y \in \R)
Cette écriture est appelée la forme algébrique du nombre complexe zz.

DéfinitionVocabulaire
Soit z=x+iyz = x + \iud y la forme algébrique d'un nombre complexe.
  • Le réel xx est appelé la partie réelle de zz, notée Re(z)\mathrm{Re}(z).
  • Le réel yy est appelé la partie imaginaire de zz, notée Im(z)\mathrm{Im}(z).
  • Si y=0y = 0, zz est un nombre réel.
  • Si x=0x = 0 et y≠0y \ne 0, zz est appelé un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté iR\iud\R.

Propriété : Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :
x+iy=x′+iy′  ⟺  x=x′ et y=y′x + \iud y = x' + \iud y' \iff x = x' \ \text{et} \ y = y'
En particulier :
z=0  ⟺  Re(z)=0 et Im(z)=0z = 0 \iff \mathrm{Re}(z) = 0 \ \text{et} \ \mathrm{Im}(z) = 0
Opérations sous forme algébrique
Pour effectuer les calculs dans C\Cnum, on applique les mêmes règles de développement et de factorisation que dans R\R, en remplaçant chaque occurrence de i2\iud^2 par −1-1.
  • Addition : (x+iy)+(x′+iy′)=(x+x′)+i(y+y′)(x + \iud y) + (x' + \iud y') = (x+x') + \iud (y+y').
  • Multiplication : (x+iy)(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)(x + \iud y)(x' + \iud y') = (xx' - yy') + \iud (xy' + yx').
Conjugué d'un nombre complexe
DéfinitionConjugué
Soit z=x+iyz = x + \iud y un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique. On appelle conjugué de zz, noté zˉ\bar{z}, le nombre complexe défini par :
zˉ=x−iy\bar{z} = x - \iud y

Propriété : Propriétés du conjugué

Soient zz et z′z' deux nombres complexes, et n∈Zn \in \Z.
  • (zˉ)‾=z\overline{(\bar{z})} = z.
  • z+z′‾=zˉ+z′‾\overline{z + z'} = \bar{z} + \overline{z'}.
  • z×z′‾=zˉ×z′‾\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \overline{z'}.
  • (zz′)‾=zˉz′‾\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\overline{z'}} (pour z′≠0z' \ne 0).
  • zn‾=(zˉ)n\overline{z^n} = (\bar{z})^n.
  • z+zˉ=2Re(z)z + \bar{z} = 2\mathrm{Re}(z) et z−zˉ=2iIm(z)z - \bar{z} = 2\iud\mathrm{Im}(z).
  • zz est réel   ⟺  z=zˉ\iff z = \bar{z}.
  • zz est imaginaire pur   ⟺  z=−zˉ\iff z = -\bar{z}.
  • Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif :
zzˉ=(x+iy)(x−iy)=x2+y2z \bar{z} = (x + \iud y)(x - \iud y) = x^2 + y^2

MéthodeCalculer le quotient de deux complexes
Pour exprimer le quotient z1z2\frac{z_1}{z_2} (z2≠0z_2 \ne 0) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur z2‾\overline{z_2}.
ExempleQuotient
Mettons sous forme algébrique le complexe z=1+2i3−iz = \frac{1+2\iud}{3-\iud} :
z=(1+2i)(3+i)(3−i)(3+i)=3+i+6i+2i232+(−1)2=3−2+7i9+1=1+7i10=110+710iz = \frac{(1+2\iud)(3+\iud)}{(3-\iud)(3+\iud)} = \frac{3 + \iud + 6\iud + 2\iud^2}{3^2 + (-1)^2} = \frac{3 - 2 + 7\iud}{9 + 1} = \frac{1+7\iud}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}\iud

Représentation Géométrique, Module et Argument

Le plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,u→,v→)(O, \vec{u}, \vec{v}).

  • À tout nombre complexe z=x+iyz = x + \iud y (x,y∈Rx, y \in \R), on associe l'unique point M(x,y)M(x, y) du plan. On dit que MM est l'image de zz et que zz est l'affixe du point MM, noté M(z)M(z).
  • Le vecteur OM→\vec{OM} est représenté par le complexe zz.
  • L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels (car il contient les images des nombres réels).
  • L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires (car il contient les images des imaginaires purs).
Module d'un nombre complexe
DéfinitionModule
Le module du nombre complexe z=x+iyz = x + \iud y, noté ∣z∣|z|, est le nombre réel positif défini par :
∣z∣=zzˉ=x2+y2|z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}
Géométriquement, si MM est l'image de zz dans le plan complexe, alors :
∣z∣=OM|z| = OM

Propriété : Propriétés du module

Soient zz et z′z' deux nombres complexes.
  • ∣z∣=0  ⟺  z=0|z| = 0 \iff z = 0.
  • ∣zˉ∣=∣−z∣=∣z∣|\bar{z}| = |-z| = |z|.
  • ∣z×z′∣=∣z∣×∣z′∣|z \times z'| = |z| \times |z'|.
  • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} (pour z′≠0z' \ne 0).
  • ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n (pour n∈Zn \in \Z).
  • Inégalité triangulaire : ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z + z'| \le |z| + |z'|.

Argument d'un nombre complexe non nul
DéfinitionArgument
Soit zz un nombre complexe non nul d'image MM. On appelle argument de zz, noté arg⁡(z)\arg(z), toute mesure en radians de l'angle orienté (u→,OM→)(\vec{u}, \vec{OM}) :
arg⁡(z)≡(u→,OM→)(mod2π)\arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}

Propriété : Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul zz peut s'écrire sous la forme :
z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z = r(\cos(\theta) + \iud \sin(\theta))
où r=∣z∣>0r = |z| > 0 et θ≡arg⁡(z)(mod2π)\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}. On a alors :
cos⁡(θ)=x∣z∣etsin⁡(θ)=y∣z∣\cos(\theta) = \frac{x}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{y}{|z|}

Propriété : Propriétés des arguments

Soient zz et z′z' deux complexes non nuls, et n∈Zn \in \Z.
  • arg⁡(zˉ)≡−arg⁡(z)(mod2π)\arg(\bar{z}) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}.
  • arg⁡(−z)≡arg⁡(z)+π(mod2π)\arg(-z) \equiv \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}.
  • arg⁡(z×z′)≡arg⁡(z)+arg⁡(z′)(mod2π)\arg(z \times z') \equiv \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}.
  • arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)−arg⁡(z′)(mod2π)\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}.
  • arg⁡(zn)≡narg⁡(z)(mod2π)\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi}.

Forme Exponentielle et Trigonométrie

Écriture exponentielle
DéfinitionÉcriture exponentielle
Pour tout réel θ\theta, on note eiθe^{\iud\theta} le nombre complexe défini par :
eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{\iud\theta} = \cos(\theta) + \iud \sin(\theta)
Ainsi, tout nombre complexe non nul zz de module rr et d'argument θ\theta admet la forme exponentielle suivante :
z=reiθz = r e^{\iud\theta}

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle réelle s'appliquent également à l'exponentielle complexe :

eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′),1eiθ=e−iθ,eiθeiθ′=ei(θ−θ′),(eiθ)n=einθ(n∈Z)e^{\iud\theta} \times e^{\iud\theta'} = e^{\iud(\theta+\theta')}, \quad \frac{1}{e^{\iud\theta}} = e^{-\iud\theta}, \quad \frac{e^{\iud\theta}}{e^{\iud\theta'}} = e^{\iud(\theta-\theta')}, \quad \left(e^{\iud\theta}\right)^n = e^{\iud n\theta} \quad (n \in \Z)

Formules fondamentales

Propriété : Formule de Moivre

Pour tout réel θ\theta et tout entier relatif nn :
(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos(\theta) + \iud \sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + \iud \sin(n\theta)

Propriété : Formules d'Euler

Pour tout réel θ\theta :
cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2etsin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i\cos(\theta) = \frac{e^{\iud\theta} + e^{-\iud\theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{e^{\iud\theta} - e^{-\iud\theta}}{2\iud}

Résolution d'Équations dans C\Cnum

Racines carrées d'un nombre complexe
Soit un nombre complexe donné Z=a+ibZ = a + \iud b. On cherche les solutions complexes z=x+iyz = x + \iud y de l'équation z2=Zz^2 = Z. Pour résoudre ce système sous forme algébrique :
z2=Z  ⟺  {x2−y2=a(parties reˊelles)2xy=b(parties imaginaires)x2+y2=a2+b2(eˊgaliteˊs des modules)z^2 = Z \iff \begin{cases} x^2 - y^2 = a & (\text{parties réelles}) \\ 2xy = b & (\text{parties imaginaires}) \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2} & (\text{égalités des modules}) \end{cases}
Ce système permet de déterminer x2x^2 et y2y^2, puis 2xy2xy permet d'identifier si xx et yy sont de même signe ou de signes contraires.
Équations du second degré à coefficients réels
◆ThéorèmeRésolution dans C\Cnum
Considérons l'équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 où a,b,ca, b, c sont des réels et a≠0a \ne 0. Soit le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • Si Δ>0\Delta > 0, l'équation admet deux solutions réelles :
z1=−b−Δ2aetz2=−b+Δ2az_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta = 0, l'équation admet une unique solution réelle double :
z0=−b2az_0 = \frac{-b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta < 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z1=−b−i−Δ2aetz2=−b+i−Δ2az_1 = \frac{-b-\iud\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b+\iud\sqrt{-\Delta}}{2a}

Applications Géométriques des Nombres Complexes

Les nombres complexes constituent un outil de calcul vectoriel plan d'une grande efficacité grâce aux résultats suivants :

Propriété : Distances et Angles

Soient AA, BB, CC, DD quatre points distincts du plan d'affixes respectives zAz_A, zBz_B, zCz_C, zDz_D.
  • L'affixe du vecteur AB→\vec{AB} est zB−zAz_B - z_A.
  • La distance ABAB est égale à ∣zB−zA∣|z_B - z_A|.
  • Une mesure de l'angle orienté (u→,AB→)(\vec{u}, \vec{AB}) est donnée par arg⁡(zB−zA)(mod2π)\arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}.
  • Une mesure de l'angle orienté (AB→,CD→)(\vec{AB}, \vec{CD}) est donnée par :
(AB→,CD→)≡arg⁡(zD−zCzB−zA)(mod2π)(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \arg\left( \frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \right) \pmod{2\pi}

Propriété : Caractérisation géométrique

Soient AA, BB, CC trois points distincts d'affixes zAz_A, zBz_B, zCz_C.
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si :
zC−zAzB−zA∈R\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \R
  • Les droites (AB)(AB) et (AC)(AC) sont perpendiculaires si et seulement si :
zC−zAzB−zA∈iR(imaginaire pur non nul)\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \iud\R \quad (\text{imaginaire pur non nul})
  • Le triangle ABCABC est rectangle en AA et isocèle en AA si et seulement si :
zC−zAzB−zA=iouzC−zAzB−zA=−i\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \iud \quad \text{ou} \quad \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = -\iud

Représentation Complexe des Transformations Géométriques

Le tableau suivant rassemble les écritures complexes des transformations géométriques classiques dans le plan complexe.

◆ThéorèmeTransformations géométriques
Soit M(z)M(z) un point quelconque du plan et M′(z′)M'(z') son image par la transformation considérée.
  • Translation de vecteur w→\vec{w} d'affixe bb :
z′=z+bz' = z + b
  • Homothétie de centre Ω(ω)\Omega(\omega) et de rapport réel k≠0k \ne 0 :
z′−ω=k(z−ω)z' - \omega = k(z - \omega)
  • Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega) et d'angle réel θ\theta :
z′−ω=eiθ(z−ω)z' - \omega = e^{\iud\theta}(z - \omega)