🎓 Chahd

Nombres complexes

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Exercice 1 : Écriture sous forme algébrique
Énoncé
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe :
Z=3−i1+2iZ = \frac{3-\iud}{1+2\iud}

Solution : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1−2i1-2\iud :

Z=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−6i−i+2i212+22=3−2−7i5=1−7i5=15−75iZ = \frac{(3-\iud)(1-2\iud)}{(1+2\iud)(1-2\iud)} = \frac{3 - 6\iud - \iud + 2\iud^2}{1^2 + 2^2} = \frac{3 - 2 - 7\iud}{5} = \frac{1-7\iud}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}\iud

Exercice 2 : Forme exponentielle
Énoncé
Déterminer la forme exponentielle de :
z=−3+iz = -\sqrt{3} + \iud

Solution : 1. Calculons le module de zz :

∣z∣=(−3)2+12=3+1=4=2|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
2. Déterminons un argument θ\theta de zz :
cos⁡(θ)=−32etsin⁡(θ)=12\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{1}{2}
L'angle de l'intervalle ]−π,π]]-\pi, \pi] qui convient est θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}. La forme exponentielle de zz est donc :
z=2ei5π6z = 2 e^{\iud\frac{5\pi}{6}}

Exercice 3 : Résolution d'une équation du second degré
Énoncé
Résoudre dans C\Cnum l'équation suivante :
z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0

Solution : C'est une équation du second degré à coefficients réels. Calculons le discriminant :

Δ=(−2)2−4(1)(5)=4−20=−16\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Puisque Δ<0\Delta < 0, l'équation admet deux racines complexes conjuguées :
z1=−(−2)−i162=2−4i2=1−2iz_1 = \frac{-(-2) - \iud\sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4\iud}{2} = 1 - 2\iud
z2=z1‾=1+2iz_2 = \overline{z_1} = 1 + 2\iud
L'ensemble des solutions est S={1−2i,1+2i}S = \{1-2\iud, 1+2\iud\}.

Exercice 4 : Détermination d'ensemble de points
Énoncé
Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que :
∣z−2+i∣=3|z - 2 + \iud| = 3

Solution : Soit AA le point d'affixe zA=2−iz_A = 2 - \iud. L'équation s'écrit :

∣z−(2−i)∣=3  ⟺  ∣z−zA∣=3  ⟺  AM=3|z - (2 - \iud)| = 3 \iff |z - z_A| = 3 \iff AM = 3
L'ensemble des points MM est donc le cercle de centre A(2,−1)A(2, -1) et de rayon 3.

Exercice 5 : Formules d'Euler et linéarisation
Énoncé
Linéariser l'expression sin⁡3(x)\sin^3(x) à l'aide des formules d'Euler.

Solution : En utilisant la formule d'Euler pour le sinus :

sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin(x) = \frac{e^{\iud x} - e^{-\iud x}}{2\iud}
Élevons au cube :
sin⁡3(x)=(eix−e−ix2i)3=(eix−e−ix)3(2i)3\sin^3(x) = \left(\frac{e^{\iud x} - e^{-\iud x}}{2\iud}\right)^3 = \frac{(e^{\iud x} - e^{-\iud x})^3}{(2\iud)^3}
Puisque (2i)3=8i3=−8i(2\iud)^3 = 8\iud^3 = -8\iud. Développons le numérateur à l'aide de l'identité (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 :
(eix−e−ix)3=ei3x−3ei2xe−ix+3eixe−i2x−e−i3x=ei3x−3eix+3e−ix−e−i3x(e^{\iud x} - e^{-\iud x})^3 = e^{\iud 3x} - 3e^{\iud 2x}e^{-\iud x} + 3e^{\iud x}e^{-\iud 2x} - e^{-\iud 3x} = e^{\iud 3x} - 3e^{\iud x} + 3e^{-\iud x} - e^{-\iud 3x}
Regroupons les termes de même fréquence :
sin⁡3(x)=(ei3x−e−i3x)−3(eix−e−ix)−8i=−14(ei3x−e−i3x2i)+34(eix−e−ix2i)\sin^3(x) = \frac{(e^{\iud 3x} - e^{-\iud 3x}) - 3(e^{\iud x} - e^{-\iud x})}{-8\iud} = -\frac{1}{4} \left( \frac{e^{\iud 3x} - e^{-\iud 3x}}{2\iud} \right) + \frac{3}{4} \left( \frac{e^{\iud x} - e^{-\iud x}}{2\iud} \right)
En réutilisant Euler pour repasser en sinus :
sin⁡3(x)=−14sin⁡(3x)+34sin⁡(x)\sin^3(x) = -\frac{1}{4}\sin(3x) + \frac{3}{4}\sin(x)