Nombres complexes

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v})

, on considère les points

A, B

C

d'affixes respectives :

z_A = \iud, \quad z_B = \sqrt{3}, \quad z_C = \sqrt{3} + \iud

Placer les points dans le plan complexe.
Montrer que le triangle $OBC$ est rectangle en $B$ .
Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Déterminer l'affixe du point $A'$ image de $A$ par $R$ .

Solution :

Les coordonnées cartésiennes des points sont $A(0, 1)$ , $B(\sqrt{3}, 0)$ et $C(\sqrt{3}, 1)$ .
Pour montrer que le triangle $OBC$ est rectangle en $B$ , calculons le rapport :

\frac{z_C - z_B}{z_O - z_B} = \frac{\sqrt{3} + \iud - \sqrt{3}}{0 - \sqrt{3}} = \frac{\iud}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\iud

Le quotient est un imaginaire pur. Les vecteurs

\vec{BC}

\vec{BO}

sont donc orthogonaux. Le triangle

OBC

est ainsi rectangle en

B

La rotation $R$ a pour centre $O(0)$ et pour angle $\frac{\pi}{3}$ . Son écriture complexe est :

z' = e^{\iud\frac{\pi}{3}} z

Calculons l'affixe de

A'

z_{A'} = e^{\iud\frac{\pi}{3}} z_A = \left(\frac{1}{2} + \iud\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\iud = \frac{1}{2}\iud - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\iud

Énoncé

Soient quatre points distincts

A, B, C, D

d'affixes respectives :

z_A = -2, \quad z_B = 2\iud, \quad z_C = 2, \quad z_D = -2\iud

Démontrer que les quatre points appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer le rapport complexe $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_D}$ . En déduire une propriété géométrique des segments $[AC]$ et $[BD]$ .

Solution :

Calculons le module de chaque affixe :
$|z_A| = |-2| = 2$
$|z_B| = |2\iud| = 2$
$|z_C| = |2| = 2$
$|z_D| = |-2\iud| = 2$ Puisque $OA = OB = OC = OD = 2$ , les points $A, B, C, D$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 2.
Calculons le quotient :

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_D} = \frac{2 - (-2)}{2\iud - (-2\iud)} = \frac{4}{4\iud} = \frac{1}{\iud} = -\iud

Puisque le module du quotient vaut $|-\iud| = 1$ , on a $AC = BD$ .
Puisque l'argument de $-\iud$ vaut $-\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ , les segments $[AC]$ et $[BD]$ sont orthogonaux. Le quadrilatère $ABCD$ est en fait un carré inscrit dans le cercle de rayon 2.